Ответы и наши решения для всех заданий и вариантов олимпиады по математике 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11 класс Сириус 3-4 группа всероссийская олимпиада школьников ВСОШ школьный этап 16 октября 2025-2026 учебный год онлайн на платформе Сириус курсы. Доступ к заданиям предоставляется с 8:00 до 22:00 по местному времени.
- Олимпиада по математике 4 класс ответы для заданий 2025
- Олимпиада по математике 5 класс школьный этап 2025
- Олимпиада по математике 6 класс школьный этап 2025
- Олимпиада по математике 7 класс школьный этап 2025
- Олимпиада по математике 8 класс школьный этап 2025
- Олимпиада по математике 9 класс школьный этап 2025
- Олимпиада по математике 10 класс школьный этап 2025
- Олимпиада по математике 11 класс школьный этап 2025
- Олимпиада Сириус по математике 3 4 группа регионов 16 октября 2025:
Олимпиада по математике 4 класс ответы для заданий 2025
1. Фигуру, изображенную на рисунке, разрезали на несколько равных по площади частей по линиям сетки (части не обязательно одинаковы). Сколько частей могло получиться? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 3, 5, 15
2. Ученики 4б класса пошли в кино. В кассе им продали с 3 по 13 места в 4 ряду, места 12, 13 и 18 в 5 ряду, а остальные ребята сели в 6 ряд на места с 9 по 21. Каждая девочка купила себе по 4 шоколадных батончика, а каждый мальчик — по 2 шоколадных батончика и по 2 леденца. Сколько шоколадных батончиков было куплено, если девочек на 5 меньше, чем мальчиков?
Ответ: 76
3. Машенька, находясь в комнате, взяла восемь прямоугольных листов цветной бумаги и стала по очереди наклеивать их на окно. На рисунке показано, как выглядит Машина аппликация со стороны комнаты. Какие из этих листов увидит мама, глядя на окно своего дома с улицы?
Ответ: 1, 2, 4, 6 точка
4. Варя загадала четырёхзначное число. Известно, что сумма числа тысяч и числа десятков равна 9, сумма числа тысяч и числа сотен на 3 больше, чем сумма числа тысяч и числа десятков, а сумма числа тысяч и числа единиц равна числу десятков. Какое число могла загадать Варя? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 3963, 4851
5. Принц нашёл 4 сундука в заколдованном лесу. В каких-то двух из них находились алмазы, а в двух других — угольки. На каждом сундуке была табличка, и известно, что на сундуках с алмазами написана правда, а на сундуках с угольками — ложь. Красный сундук: «Тут лежат алмазы». Зелёный сундук: «Внутри синего сундука лежат угольки». Синий сундук: «Моё содержимое такое же, как и в зелёном сундуке». Чёрный сундук: «Моё содержимое отличается от содержимого красного сундука (если в одном алмазы, то в другом — угольки)». Помогите принцу определить, где что находится.
Ответ: Красный сундук: Угольки Зелёный сундук: Алмазы Синий сундук: Угольки Чёрный сундук: Алмазы
6. Вася нашёл бабушкино жемчужное ожерелье, которое висело так, как показано на рисунке справа. Он взял ножницы и разрезал часть нитей, как показано на рисунке внизу. Какая жемчужина теперь висит ниже всех?
7. В системе авиаперевозок всегда указывается местное время взлета ипосадки. Пассажирский самолёт вылетел из города Плюсинск в 17:00 и приземлился в Минусинске в01:00 следующего дня. Грузовой самолёт летит в два раза медленнее пассажирского. Грузовой самолёт вылетел из Минусинска в 16:00, приземлился в Плюсинске в 11:00 следующего дня, разгрузился и ровно в полночь вылетел обратно в Минусинск. Известно, что грузовой самолёт летит меньше суток. В какое время он прибудет в Минусинск? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.
8. Все платья принцессы либо белые, либо розовые, либо бело-розовые. А в гардеробной у неё сущий кавардак! Ведь среди любых 15 платьев найдётся хотя бы одно чисто розовое, а среди любых 11 платьев найдётся хотя бы одно чисто белое. Какое наибольшее количество бело-розовых платьев может быть у принцессы, если всего платьев не менее 18?
2 вариант олимпиады
1. Фигуру, изображённую на рисунке, разрезали на несколько равных по площади частей по линиям сетки (части не обязательно одинаковы). Сколько частей могло получиться? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 3, 5, 15
2. Ученики 4б класса пошли в кино. В кассе им продали с 6 по 16 места в 4 ряду, места 16, 18 и 19 в 5 ряду, а остальные ребята сели в 6 ряд на места с 6 по 19. Каждая девочка купила себе по 3 шоколадных батончика, а каждый мальчик — по 2 шоколадных батончика и по 2 леденца. Сколько шоколадных батончиков было куплено, если девочек на 4 больше, чем мальчиков?
Ответ: 72
3. Машенька, находясь в комнате, взяла восемь прямоугольных листов цветной бумаги и стала по очереди наклеивать их на окно. На рисунке показано, как выглядит Машина аппликация со стороны комнаты. Какие из этих листов увидит мама, глядя на окно своего дома с улицы?
Ответ: 1, 3, 5 точка
4. Варя загадала четырёхзначное число. Известно, что сумма числа тысяч и числа десятков равна 10, сумма числа тысяч и числа сотен на 3 больше, чем сумма числа тысяч и числа десятков, а сумма числа тысяч и числа единиц равна числу десятков. Какое число могла загадать Варя? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 4962, 5850
5. Принц нашёл 4 сундука в заколдованном лесу. В каких-то двух из них находились алмазы, а в двух других — угольки. На каждом сундуке была табличка, и известно, что на сундуках с алмазами написана правда, а на сундуках с угольками — ложь. Красный сундук: «Тут лежат алмазы». Зелёный сундук: «Моё содержимое отличается от содержимого чёрного сундука (если в одном алмазы, то в другом — угольки)». Синий сундук: «Внутри зелёного сундука лежат угольки». Чёрный сундук: «Моё содержимое такое же, как и в зелёном сундуке». Помогите принцу определить, где что находится.
Ответ: Зелёный сундук: Алмазы Чёрный сундук: Угольки Красный сундук Алмазы Синий сундук Угольки
6. Вася нашёл бабушкино жемчужное ожерелье, которое висело так, как показано на рисунке справа. Он взял ножницы и разрезал часть нитей, как показано на рисунке внизу. Какая жемчужина теперь висит ниже всех?
7. B системе авиаперевозок всегда указывается местное время взлёта и посадки. Пассажирский самолёт вылетел из города Плюсинск в 17:00 и приземлился в Минусинске в 23:00. Грузовой самолёт летит в два раза медленнее пассажирского. Грузовой самолёт вылетел из Минусинска в 11:00, приземлился в Плюсинске в 8:00 следующего дня, разгрузился и ровно в полночь вылетел обратно в Минусинск. Известно, что грузовой самолёт летит меньше суток. В какое время он прибудет в Минусинск? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.
8. Все платья принцессы либо белые, либо розовые, либо бело-розовые. А в гардеробной у неё сущий кавардак! Ведь среди любых 15 платьев найдётся хотя бы одно чисто а среди любых 11 платьев найдётся хотя бы одно чисто белое. Какое наибольшее количество бело-розовых платьев может быть у принцессы, если всего платьев не менее 18?
3 вариант
1. Фигуру, изображённую на рисунке, разрезали на несколько равных по площади частей по линиям сетки (части не обязательно одинаковы). Сколько частей могло получиться? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Олимпиада по математике 5 класс школьный этап 2025
1. Декоратор готовит реквизит. У него есть 2025 шариков и три краски: белая, красная и синяя. Он хочет, чтобы каждый шарик был покрашен ровно в два цвета и при этом никакой цвет не встречался в трёх шариках подряд. Первый шарик красно-синий, второй — бело-синий. В какие цвета окрашен 2025-й шарик?
Белый и синий
Белый и красный
Красный и синий
Ответ: Белый и красный
1.2. Декоратор готовит реквизит. У него есть 2025 шариков и три краски: белая, синяя и зелёная. Он хочет, чтобы каждый шарик был покрашен ровно в два цвета и при этом никакой цвет не встречался в трёх шариках подряд. Первый шарик сине-зелёный, второй -бело-синий. В какие цвета окрашен 2025-й шарик?
Белый и зелёный
Белый и синий
Синий и зелёный
Ответ: белый и зелёный
1.3. Декоратор готовит реквизит. У него есть 2026 шариков и три краски: красная, синяя и зелёная. Он хочет, чтобы каждый шарик был покрашен ровно в два цвета и при этом никакой цвет не встречался в трёх шариках подряд. Первый шарик сине-зелёный, второй — красно-синий. В какие цвета окрашен 2026-й шарик?
Красный и зелёный
Красный и синий
Синий и зелёный
Ответ: синий и зелёный
1.4. Декоратор готовит реквизит. У него есть 2027 шариков и три краски: белая, жёлтая и зелёная. Он хочет, чтобы каждый шарик был покрашен ровно в два цвета и при этом никакой цвет не встречался в трёх шариках подряд. Первый шарик жёлто-зелёный, второй -бело-жёлтый. В какие цвета окрашен 2027-й шарик?
Жёлтый и зелёный
Белый и жёлтый
Белый и зелёный
Ответ: белый и жёлтый
2. У Васи есть два набора карточек: в одном наборе карточки с квадратами чисел от 1 до 9 включительно, а во втором — с квадратами чисел от 10 до 20 включительно. Вася может достать взять одну карточку из первого набора и одну — из второго, и составить из этих карточек число. Он хочет, чтобы полученное число было пятизначным и чтобы в нём было не больше двух различных цифр. Какое число может получить Вася? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 25225 и 22525
2.2. У Васи есть два набора карточек: в одном наборе карточки с квадратами чисел от 1 до 9 включительно, а во втором — с квадратами чисел от 11 до 20 включительно. Вася может достать взять одну карточку из первого набора и одну — из второго, и составить из этих карточек число. Он хочет, чтобы полученное число было четырёхзначным и чтобы цифры в нём были в порядке возрастания. Какое число может получить Вася? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 1256 и 1289
2.3. У Васи есть два набора карточек: в одном наборе карточки с квадратами чисел от 1 до 9 включительно, а во втором — с квадратами чисел от 11 до 19 включительно. Вася может достать взять одну карточку из первого набора и одну — из второго, и составить из этих карточек число. Он хочет, чтобы полученное число было нечётным, четырёхзначным и чтобы в нём было не больше двух различных цифр. Какое число может получить Вася? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 1121, 1211, 1441
2.4. У Васи есть два набора карточек: в одном наборе карточки с квадратами чисел от 1 до 9 включительно, а во втором — с квадратами чисел от 11 до 19 включительно. Вася может достать взять одну карточку из первого набора и одну — из второго, и составить из этих карточек число. Он хочет, чтобы полученное число было чётным, четырёхзначным и чтобы в нём было не больше двух различных цифр. Какое число может получить Вася? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 1144, 1444, 4144
3. Ира решила придумать своё решето Эратосфена для поиска красивых чисел в пределах от 10 до 100. Сначала Ира вычеркнула все числа, в которых одна из цифр делится на другую. Затем Ира вычеркнула все чётные, а потом устала и решила, что все оставшиеся числа — красивые. Запишите в ответ сумму самого маленького и самого большого красивых чисел.
Ответ: 120
3.2. Ира решила придумать своё решето Эратосфена для поиска красивых чисел в пределах от 10 до 100. Сначала Ира вычеркнула все числа, в которых одна из цифр делится на другую. Затем Ира вычеркнула все числа, с суммой цифр более 10, а потом устала и решила, что все оставшиеся числа — красивые. Запишите в ответ сумму самого маленького и самого большого красивых чисел.
Ответ: 96
3.3. Ира решила придумать своё решето Эратосфена для поиска красивых чисел в пределах от 10 до 100. Сначала Ира вычеркнула все числа с нулями в записи. Затем — числа, в которых одна из цифр делится на другую. Затем Ира вычеркнула все нечётные, а потом устала и решила, что все оставшиеся числа — красивые. Запишите в ответ сумму самого маленького и самого большого красивых чисел.
Ответ: 130
3.4. Ира решила придумать своё решето Эратосфена для поиска красивых чисел в пределах от 10 до 100. Сначала Ира вычеркнула все числа с нулями в записи. Затем — числа, в которых одна из цифр делится на другую. Затем Ира вычеркнула все числа, в которых цифры отличаются друг от друга не более чем на 1 (например, 12 или 65), а потом устала и решила, что все оставшиеся числа — красивые. Запишите в ответ сумму самого маленького и самого большого красивых чисел.
Ответ: 122
4. Святослав из 5Я заметил, что, как бы он ни набрал из своего класса команду для игры в бейсбол из 13 человек, в ней обязательно будет мальчик. А среди любых 6 человек будет хотя бы три девочки. Какое наибольшее количество детей могло учиться в 5Я?
Ответ: 15
4.2. Владислав из 5В заметил, что, как бы он ни набрал из своего класса команду из 15 человек для театральной постановки, в ней обязательно будет хотя бы 3 мальчика. А среди любых 3 человек будет девочка. Какое наибольшее количество детей могло учиться в 5В?
Ответ: 14
4.3. Яромир из 5М заметил, что, как бы он ни набрал из своего класса команду из 20 человек для похода в театр, в ней обязательно будет хотя бы 2 мальчика. А среди любых 6 человек будет девочка. Какое наибольшее количество детей могло учиться в 5М?
Ответ: 23
4.4. Савелий из 55 заметил, что, как бы он ни набрал из своего класса команду по волейболу из 6 человек, в ней обязательно будет мальчик. А среди любых 11 человек будут хотя бы две девочки. Какое наибольшее количество детей могло учиться в 55?
Ответ: 14
5. Нильс решил на каникулах изучить Швецию. Он выехал из Гётеборга и половину пути проехал на автобусе. В Стокгольме он собирался пересесть на поезд и проехать на нём вторую половину пути до Эстерсунда, но случайно купил билет не на ту дату — его поезд ушёл четыре дня назад. Чтобы родители, которые ждали его в Эстерсунде, не волновались, он вызвал диких гусей, которые летают в два раза быстрее движения поезда. С их помощью Нильс прибыл в Эстерсунд как раз в момент, когда приехал поезд. А сколько дней заняла бы вся дорога, если бы он сразу полетел на гусях?
Ответ: 8 дней
5.2. Нильс решил на каникулах изучить Швецию. Он выехал из Гетеборга и половину пути проехал на автобусе. В Стокгольме он собирался пересесть на поезд и проехать на нём вторую половину пути до Эстерсунда, но случайно купил билет не на ту дату — его поезд ушёл три дня назад. Чтобы родители, которые ждали его в Эстерсунде, не волновались, он вызвал диких гусей, которые летают в четыре раза быстрее движения поезда. С их помощью Нильс прибыл в Эстерсунд как раз в момент, когда приехал поезд. А сколько дней заняла бы вся дорога, если бы он сразу полетел на гусях?
Ответ: 2 дня
5.3. Нильс решил на каникулах изучить Швецию. Он выехал из Гётеборга и половину пути проехал на автобусе. В Стокгольме он собирался пересесть на поезд и проехать на нём вторую половину пути до Эстерсунда, но случайно купил билет не на ту дату -его поезд ушёл три дня назад. Чтобы родители, которые ждали его в Эстерсунде, не волновались, он вызвал диких гусей, которые летают в два раза быстрее движения поезда. С их помощью Нильс прибыл в Эстерсунд как раз в момент, когда приехал поезд. А сколько дней заняла бы вся дорога, если бы он сразу полетел на гусях?
Ответ: 6 дней
5.4. Нильс решил на каникулах изучить Швецию. Он выехал из Гётеборга и половину пути проехал на автобусе. В Стокгольме он собирался пересесть на поезд и проехать на нём вторую половину пути до Эстерсунда, но случайно купил билет не на ту дату — его поезд ушёл четыре дня назад. Чтобы родители, которые ждали его в Эстерсунде, не волновались, он вызвал диких гусей, которые летают в три раза быстрее движения поезда. С их помощью Нильс прибыл в Эстерсунд как раз в момент, когда приехал поезд. А сколько дней заняла бы вся дорога, если бы он сразу полетел на гусях?
Ответ: 4 дня
6. Школьники в лагере записывались на кружки. На программирование записалось 35 человек, на футбол — 45, а на рисование — 40. Руководство лагеря составило списки. Оказалось, что детей, записавшихся ровно на один кружок, столько же, сколько тех, кто записался ровно на два кружка, и столько же, сколько тех, кто записался ровно на три кружка. Сколько всего школьников в этом лагере, если каждый ребенок был обязан записаться хотя бы в один кружок?
6.2. Школьники в лагере записывались на кружки. На плавание записалось 60 человек, на волейбол — 50, а на математику — 40. Руководство лагеря составило списки. Оказалось, что детей, записавшихся ровно на один кружок, столько же, сколько тех, кто записался ровно на два кружка, и столько же, сколько тех, кто записался ровно на три кружка. Сколько всего школьников в этом лагере, если каждый ребенок был обязан записаться хотя бы в один кружок?
6.3. Школьники в лагере записывались на кружки. На конный спорт записалось 50 человек, на баскетбол — 35, а на пение — 35. Руководство лагеря составило списки. Оказалось, что детей, записавшихся ровно на один кружок, столько же, сколько тех, кто записался ровно на два кружка, и столько же, сколько тех, кто записался ровно на три кружка. Сколько всего школьников в этом лагере, если каждый ребенок был обязан записаться хотя бы в один кружок?
7. Тёмный властелин приказал вырастить лабиринт безумия для своих врагов. В лабиринте должен быть один вход и один выход; между любыми двумя местами в лабиринте есть единственный путь, а на дорожках могут встречаться либо перекрёстки с четырьмя вариантами пути (включая тот, по которому пришли), либо тупики. Сколько всего перекрёстков в этом лабиринте, если тупиков 24?
7.2. Темный властелин приказал вырастить лабиринт безумия для своих врагов. В лабиринте должен быть один вход и один выход; между любыми двумя местами в лабиринте есть единственный путь, а на дорожках могут встречаться либо перекрёстки с четырьмя вариантами пути (включая тот, по которому пришли), либо тупики. Сколько всего перекрёстков в этом лабиринте, если тупиков 26?
7.3. Темный властелин приказал вырастить лабиринт безумия для своих врагов. В лабиринте должен быть один вход и один выход: между любыми двумя местами в лабиринте есть единственный путь, а на дорожках могут встречаться либо перекрёстки с четырьмя вариантами пути (включая тот, по которому пришли), либо тупики. Сколько всего перекрёстков в этом лабиринте, если тупиков 22?
7.4. Темный властелин приказал вырастить лабиринт безумия для своих врагов. В лабиринте должен быть один вход и один выход; между любыми двумя местами в лабиринте есть единственный путь, а на дорожках могут встречаться либо перекрёстки с четырьмя вариантами пути (включая тот, по которому пришли), либо тупики. Сколько всего перекрёстков в этом лабиринте, если тупиков 20?
8. Учитель раздал Антону, Борису, Виктору, Галине и Динаре пять разных прямоугольников с площадью 36 и целыми длинами сторон. Известно, что: . девочкам достались фигуры, у которых обе стороны чётные; у Антона и Галины самый большой и самый маленький периметры (но неизвестно, у кого какой); у Виктора сумма длины и ширины является простым числом. Прямоугольники с какими сторонами достались каждому из ребят?
8.2. Учитель раздал Антону, Борису, Виктору, Галине и Динаре пять разных прямоугольников с площадью 48 и целыми длинами сторон. Известно, что: мальчикам достались фигуры, у которых длина нацело делится на ширину; у Антона и Галины самый большой и самый маленький периметры (но неизвестно, у кого какой); у Виктора сумма длины и ширины делится на 4. Прямоугольники с какими сторонами достались каждому из ребят?
8.3. Учитель раздал Антону, Борису, Виктору, Галине и Динаре пять разных прямоугольников с площадью 100 и целыми длинами сторон. Известно, что: девочкам достались фигуры, у которых обе стороны чётные; у Антона и Галины самый большой и самый маленький периметры (но неизвестно, у кого какой); у Виктора сумма длины и ширины является простым числом. Прямоугольники с какими сторонами достались каждому из ребят?
8.4. Учитель раздал Антону, Борису, Виктору, Галине и Динаре пять разных прямоугольников с площадью 48 и целыми длинами сторон. Известно, что: мальчикам достались фигуры, у которых длина нацело делится на ширину; у Антона и Галины самый большой и самый маленький периметры (но неизвестно, у кого какой); у Виктора сумма длины и ширины делится на 4. Прямоугольники с какими сторонами достались каждому из ребят? К какому типу относится каждый из них?
Олимпиада по математике 6 класс школьный этап 2025
1. В комнате находятся Игорь, Кирилл, Лев и Макар. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Между ними состоялся следующий разговор. Игорь: «Мы с Макаром относимся к разным типам». Кирилл: «Мы со Львом относимся к одному типу. Игорь: «Кирилл — лжец». Сколько среди них рыцарей? К какому типу относится каждый из них?
Ответ: 2, Игорь — рыцарь, Кирилл — лжец, Лев — рыцарь, Макар — лжец
1.2. В комнате находятся Леонид, Михаил, Назар и Олег. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Между ними состоялся следующий разговор. Леонид: «Олег — лжец». Олег: «Мы с Назаром относимся к одному типу. Леонид: «Мы с Михаилом относимся к разным типам». Сколько среди них рыцарей?
Ответ: 2, Леонид: Рыцарь Михаил: Лжец Назар: Рыцарь Олег: Лжец
1.3. В комнате находятся Ярослав, Юрий, Эдуард и Шарль. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Между ними состоялся следующий разговор. Ярослав: «Мы с Шарлем относимся к разным типам». Юрий: «Ярослав — лжец». Ярослав: «Мы с Эдуардом относимся к одному типу. Сколько среди них рыцарей? К какому типу относится каждый из них?
Ответ: 2, Эдуард: Рыцарь Шарль: Лжец Ярослав — Лжец Юрий — Рыцарь
1.4. В комнате находятся Андрей, Борис, Виктор и Геннадий. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Между ними состоялся следующий разговор. Андрей: «Борис-лжец». Борис: «Мы с Виктором относимся к одному типу. Андрей: «Мы с Геннадием относимся к разным типам». Сколько среди них рыцарей? К какому типу относится каждый из них?
Ответ: 2 . Андрей: рыцарь Борис: лжец Виктор: рыцарь Геннадий: лжец
2. Вася взял белый прямоугольник 36 х 45 и начал его красить: каёмку толщиной в 1 клетку — в чёрный цвет, следующую каёмку он оставил белой, затем -снова чёрная каёмка и т. д. На рисунке показан аналогичный прямоугольник 5 x 7. Найдите разность количества чёрных и белых клеток в Васином прямоугольнике.
Ответ: 72
2.2. Вася взял белый прямоугольник 40 х 63 и начал его красить: каёмку толщиной в 1 клетку — в чёрный цвет, следующую каёмку он оставил белой, затем — снова чёрная каёмка и т. д. На рисунке показан аналогичный прямоугольник 5 х 7. Найдите разность количества чёрных и белых клеток в Васином прямоугольнике.
Ответ: 130
2.3. Вася взял белый прямоугольник 32 х 41 и начал его красить: каёмку толщиной в 1 клетку — в чёрный цвет, следующую каёмку он оставил белой, затем снова чёрная каёмка и т. д. На рисунке показан аналогичный прямоугольник 5 х 7. Найдите разность количества чёрных и белых клеток в Васином прямоугольнике.
Ответ: 64
2.4. Вася взял белый прямоугольник 28 х 51 и начал его красить: каёмку толщиной в 1 клетку — в чёрный цвет, следующую каёмку он оставил белой, затем — снова чёрная каёмка и т. д. На рисунке показан аналогичный прямоугольник 5 х 7. Найдите разность количества чёрных и белых клеток в Васином прямоугольнике.
Ответ: 56
3. Десять человек, каждый из которых в красном или синем колпаке, встали в колонну. Каждый, кто в красном колпаке, сказал, сколько людей в красных колпаках впереди него. Каждый, кто в синем колпаке, сказал, сколько людей в синих колпаках позади него. Сумма названных чисел оказалась равна 21. Людей в красных колпаках не меньше, чем в синих. Сколько было людей в красных колпаках?
Ответ: 6
3.2. Десять человек, каждый из которых в красном или синем колпаке, встали в колонну. Каждый, кто в красном колпаке, сказал, сколько людей в красных колпаках впереди него. Каждый, кто в синем колпаке, сказал, сколько людей в синих колпаках позади него. Сумма названных чисел оказалась равна 24. Людей в красных колпаках не меньше, чем в синих. Сколько было людей в красных колпаках?
Ответ: 7
3.3. Девять человек, каждый из которых в красном или синем колпаке, встали в колонну. Каждый, кто в красном колпаке, сказал, сколько людей в красных колпаках впереди него. Каждый, кто в синем колпаке, сказал, сколько людей в синих колпаках позади него. Сумма названных чисел оказалась равна 16. Людей в красных колпаках не больше, чем в синих. Сколько было людей в красных колпаках?
Ответ: 4
3.4. Двенадцать человек, каждый из которых в красном или синем колпаке, встали в колонну. Каждый, кто в красном колпаке, сказал, сколько людей в красных колпаках позади него. Каждый, кто в синем колпаке, сказал, сколько людей в синих колпаках впереди него. Сумма названных чисел оказалась равна 31. Людей в красных колпаках не больше, чем в синих. Сколько было людей в красных колпаках?
Ответ: 5
4. В семье есть папа, мама и несколько детей. 31 января 2022 года сумма их возрастов (включая родителей) равнялась 60, 31 марта 2023 — 67, 31 августа 2025 — 77. Новых детей за это время не появилось (и старые никуда не делись). Сколько могло быть детей в семье?
Ответ: 3
4.2. В семье есть папа, мама и несколько детей. 1 января 2022 года сумма их возрастов (включая родителей) равнялась 90, 1 марта 2023 — 101, 1 октября 2025 — 113. Новых детей за это время не появилось (и старые никуда не делись). Сколько могло быть детей в семье?
Ответ: 4
4.3. В семье есть папа, мама и несколько детей. 1 февраля 2022 года сумма их возрастов (включая родителей) равнялась 70, 1 мая 2023 — 77, 1 октября 2025 — 87. Новых детей за это время не появилось (и старые никуда не делись). Сколько могло быть детей в семье?
Ответ: 3
4.3. В семье есть папа, мама и несколько детей. 10 января 2022 года сумма их возрастов (включая родителей) равнялась 94, 10 апреля 2023-105, 10 октября 2025 — 117. Новых детей за это время не появилось (и старые никуда не делись). Сколько могло быть детей в семье?
Ответ: 4
5. У Андрея есть 15 кубиков (кубики стандартные, на гранях — числа от 1 до 6, значения на противоположных гранях дают в сумме 7). Андрей ставит кубики по следующему правилу: если на верхней грани кубика написана единица, двойка или тройка, то число нижней грани следующего кубика должно быть вдвое больше, а для чисел от 4 до 6 на нижней грани следующего кубика должно стоять число на 3 меньше. Андрей таким образом построил башню из 15 кубиков. Какое число НЕ может быть верхним на 15-м кубике? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 1, 2, 3
5.2. У Стаса есть 20 кубиков (кубики стандартные, на гранях — числа от 1 до 6, значения на противоположных гранях дают в сумме 7). Стас ставит кубики по следующему правилу: если на верхней грани кубика написана двойка, четвёрка или шестёрка, то число на нижней грани следующего кубика должно быть вдвое меньше, а для нечётных чисел на нижней грани следующего кубика должно стоять число на 1 больше. Стас таким образом построил башню из 20 кубиков, и оказалось, что на верхней грани 20-го кубика написана пятёрка. Какое число НЕ может быть верхним ни на одном из кубиков? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 3
5.3. У Сергея есть 10 кубиков (кубики стандартные, на гранях — числа от 1 до 6, значения на противоположных гранях дают в сумме 7). Сергей ставит кубики по следующему правилу: если на верхней грани кубика написана двойка, четвёрка или шестёрка, то число на нижней грани следующего кубика должно быть вдвое меньше, а для нечётных чисел на нижней грани следующего кубика должно стоять число на 1 больше. Сергей таким образом построил башню из 10 кубиков. Какое число НЕ может быть верхним на 10-м кубике? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 2, 4, 6
5.4. У Миши есть 20 кубиков (кубики стандартные, на гранях — числа от 1 до 6, значения на противоположных гранях дают в сумме 7). Миша ставит кубики по следующему правилу: если на верхней грани кубика написана единица, двойка или тройка, то число на нижней грани следующего кубика должно быть вдвое больше, а для чисел от 4 до 6 на нижней грани следующего кубика должно стоять число на 3 меньше. Миша таким образом построил башню из 20 кубиков, и оказалось, что на верхней грани 20-го кубика написана пятёрка. Какое число НЕ может быть верхним на первом кубике? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 4, 6
6. Сколькими способами можно разрезать фигуру на рисунке на части размером по четыре клетки?
7. У Макса есть несколько талеров. Этих денег хватит, чтобы купить 8 огурцов (и даже ещё останется), но не хватит для покупки шести помидоров. Одиннадцать огурцов стоят столько же, сколько восемь помидоров. Большая тарелка овощей стоимостью 70 талеров также оказалась не по карману Максу. Огурец стоит целое число талеров, и помидор тоже стоит целое число талеров. Сколько талеров у Макса?
7.2. У Мити есть несколько тугриков. Этих денег хватит, чтобы купить 4 пирожка (и даже ещё останется), но не хватит для покупки семи булочек. Двенадцать булочек стоят столько же сколько семь пирожков. Комплексный обед стоимостью 100 тугриков также оказался не по карману Мите. Булочка стоит целое число тугриков, и пирожок тоже стоит целое число тугриков. Сколько тугриков у Мити?
7.3. У Дины есть несколько динариев. Этих денег хватит, чтобы купить 25 пончиков (и даже ещё останется), но не хватит для покупки 11 пирожков. Три пирожка стоят столько же, сколько семь пончиков. Набор выпечки стоимостью 100 динариев также оказался не по карману Дине. Пончик стоит целое число динариев, и пирожок тоже стоит целое число динариев. Сколько у неё динариев?
7.4. У Сильвера есть несколько пиастров. Этих денег хватит, чтобы купить 8 попугаев (и даже ещё останется), но не хватит для покупки десяти бутылок рома. Пять попугаев стоят столько же, сколько шесть бутылок рома. Искусственная нога стоимостью 50 пиастров также оказалась не по карману Сильверу. Попугай стоит целое число пиастров, и бутылка рома тоже стоит целое число пиастров. Сколько у Сильвера пиастров?
8. В конкурсе середнячков приняли участие 49 танцоров, каждый из которых на жеребьёвке получил уникальный номерок с числом 1, 2, 3, …, 49. Затем танцоров случайным образом распределили на группы по семь, расположили номера участников внутри группы в порядке возрастания и из каждой выбрали того, чей номер оказался «средним» в ряду. Среди отобранных семи танцоров по такому же принципу выбрали одного. Какое минимальное число может быть написано на его номерке?
8.2. В конкурсе середнячков приняли участие 25 танцоров, каждый из которых на жеребёвке получил уникальный номерок с числом 1, 2, 3, …, 25. Затем танцоров случайным образом распределили на группы по пять, расположили номера участников внутри группы в порядке возрастания и из каждой выбрали того, чей номер оказался «средним» в ряду. Среди отобранных пяти танцоров по такому же принципу выбрали одного. Какое минимальное число может быть написано на его номерке?
8.3. В кафе, в котором было шесть пятиместных столов, пришли 25 человек возрастом 21, 22, 23,…, 45 лет. Они заняли первые пять столов, разделившись на группы по пять человек. За каждым столом выбрали среднего по возрасту человека (т. е. двое за его столом моложе выбранного, а остальные двое — старше), и пятеро выбранных пересели за шестой стол. Затем за шестым столом точно так же выбрали среднего по возрасту человека. Какой наименьший возраст у него мог быть?
8.4. Двадцать пять камней имеют массу 1 г. 2 г. 3г. … 25 г, но неизвестно, какой из камней сколько весит. Эти камни как-то разложены в пять кучек по пять камней. Из каждой кучки выбирают средний по массе камень (т. е. два камня в его кучке легче него и два тяжелее), а из выбранной пятёрки снова выбирают средний по массе. Какую наибольшую массу он может иметь?
Олимпиада по математике 7 класс школьный этап 2025
1. За победу в командных соревнованиях Ане, Боре, Ване, Гене и Даше вручили мяч и кубок. Аня получила мяч от Гены, а кубок передала Боре, Даша передала кубок Ване, а мяч получила от Бори, Боря передал кубок Гене, а мяч получил от Вани. Ваня передал кубок Ане и получил от неё мяч. Больше никто никому ничего не передавал. У кого кубок был изначально? У кого мяч был изначально? У кого кубок оказался в конце? У кого мяч оказался в конце?
Ответ: Кубок изначально: у Даши Мяч изначально: у Гены Кубок в конце: у Бори Мяч в конце: у Ани
1.2. За победу в командных соревнованиях Косте, Лене, Маше, Насте и Олегу вручили мяч и кубок. Костя получил кубок от Лены, и передал ей мяч. Олег получил мяч от Лены, а кубок передал Насте. Маша получила мяч от Олега, а кубок передала Лене. Настя передала мяч Косте, а кубок — Маше. Больше никто никому ничего не передавал. У кого кубок был изначально?
Ответ: Кубок изначально: У Олега Мяч изначально: У Насти Кубок в конце: У Маши Мяч в конце: У Кости
1.3. За победу в командных соревнованиях Кате, Лене, Мише, Никите и Оле вручили мяч и кубок. Катя получила кубок от Лены, а мяч передала Никите. Оля получила кубок от Никиты, а мяч передала Кате. Лена получила кубок от Оли, а мяч отдала Мише. Никита отдал мяч Лене, а кубок получил от Миши. Больше никто никому ничего не передавал.
Ответ: 1. Миша, 2.Оля, 3. Катя, 4. Миша
1.4. За победу в командных соревнованиях Ане, Боре, Варе, Глебу и Диме вручили мяч и кубок. Аня получила мяч от Глеба, а кубок передала Боре. Дима передал кубок Ане, а мяч получил от Бори. Варя получила мяч от Димы, а кубок — от Глеба. Боря получил мяч от Ани, а кубок передал Глебу. Больше никто никому ничего не передавал. У кого кубок был изначально?
Ответ: у Димы, у Глеба, у Вари, у Вари
2. В классе 60% девочек и 40% мальчиков. Известно, что среди учеников класса 40% девочек и 30% мальчиков любят играть в шахматы. Найдите долю любителей шахмат в этом классе. Ответ выразите в процентах.
Ответ: 36%
2.2. В классе 70% девочек и 30% мальчиков. Известно, что среди учеников класса 40% девочек и 20% мальчиков любят играть в шахматы. Найдите долю любителей шахмат в этом классе. Ответ выразите в процентах.
Ответ: 34%
2.3. В классе 40% девочек и 60% мальчиков. Известно, что среди учеников класса 30% девочек и 60% мальчиков любят играть в шахматы. Найдите долю любителей шахмат в этом классе. Ответ выразите в процентах.
Ответ: 48%
2.4. В классе 30% девочек и 70% мальчиков. Известно, что среди учеников класса 40% девочек и 30% мальчиков любят играть в шахматы. Найдите долю любителей шахмат В этом классе. Ответ выразите в процентах.
Ответ: 33%
3. На плоскости расположены два треугольника и один отрезок. Сколько могло получиться точек пересечения? Выберите все подходящие варианты. Точкой пересечения называется общая точка каких-либо двух или трёх фигур.
Ответ: 4, 8, 10, 12, 13, 15
3.2. На плоскости расположены два треугольника и один отрезок. Сколько могло получиться точек пересечения? Выберите все подходящие варианты. Точкой пересечения называется общая точка каких-либо двух или трёх фигур.
Ответ: 5, 7, 9, 11, 13, 14
3.3. На плоскости расположены два треугольника и один отрезок. Сколько могло получиться точек пересечения? Выберите все подходящие варианты. Точкой пересечения называется общая точка каких-либо двух или трёх фигур.
Ответ: 4, 8, 9
3.4. На плоскости расположены два треугольника и один отрезок. Сколько могло получиться точек пересечения? Выберите все подходящие варианты. Точкой пересечения называется общая точка каких-либо двух или трёх фигур.
Ответ: 5, 9, 10
4. На какую цифру оканчивается сумма всех чисел, кратных 3 и принадлежащих отрезку [300; 829]?
Ответ: 4
4.2. На какую цифру оканчивается сумма всех чисел, кратных 3 и принадлежащих отрезку [300; 772]?
Ответ: 6
4.3. На какую цифру оканчивается сумма всех чисел, кратных 3 и принадлежащих отрезку [600; 947)?
Ответ: 0
4.4. На какую цифру оканчивается сумма всех чисел, кратных 3 и принадлежащих отрезку [300; 643]?
Ответ: 5
5. На прямой аллее росли вишня, черешня и яблоня. Известно, что расстояние от вишни до яблони в четыре раза больше расстояния от черешни до яблони. В какой-то момент на вишню села ворона, а на черешню — воробей. Оказалось, что вороне до яблони лететь на 60 метров больше, чем воробью. Немного поклевав ягоды, птицы одновременно полетели навстречу друг другу. Сколько метров мог преодолеть воробей к моменту встречи, если его скорость в 1.5 раза меньше, чем скорость вороны? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 24 и 36
5.2. На прямой аллее росли вишня, черешня и яблоня. Известно, что расстояние от вишни до яблони в пять раз больше расстояния от черешни до яблони. В какой-то момент на вишню села ворона, а на черешню — воробей. Оказалось, что вороне до яблони лететь на 20 метров больше, чем воробью. Немного поклевав ягоды, птицы полетели одновременно навстречу друг другу. Сколько метров мог преодолеть воробей к моменту встречи, если его скорость в 1.5 раза меньше, чем скорость вороны? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 12 и 18
5.3. На прямой аллее росли вишня, черешня и яблоня. Известно, что расстояние от вишни до яблони в шесть раз больше расстояния от черешни до яблони. В какой-то момент на вишню села ворона, а на черешню — воробей. Оказалось, что вороне до яблони лететь на 50 метров больше, чем воробью. Немного поклевав ягоды, птицы одновременно полетели навстречу друг другу. Сколько метров мог преодолеть воробей к моменту встречи, если его скорость в 1.5 раза меньше, чем скорость вороны? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 20 и 28
5.4. На прямой аллее росли вишня, черешня и яблоня. Известно, что расстояние от вишни до яблони в три раза больше расстояния от черешни до яблони. В какой-то момент на вишню села ворона, а на черешню — воробей. Оказалось, что вороне до яблони лететь на 80 метров больше, чем воробью. Немного поклевав ягоды, птицы одновременно полетели навстречу друг другу. Сколько метров мог преодолеть воробей к моменту встречи, если его скорость в 1.5 раза меньше, чем скорость вороны? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 32 и 64
6. Какое наибольшее количество прямоугольников 1 х 2 или 2 х 1 можно выпилить из фигуры, изображённой на рисунке?
Ответ: 12
6.2. Какое наибольшее количество прямоугольников 1 х 2 или 2 х 1 можно выпилить из фигуры, изображенной на рисунке?
Ответ: 12
6.3. Какое наибольшее количество прямоугольников 1 х 2 или 2 х 1 можно выпилить из фигуры, изображённой на рисунке?
Ответ: 15
6.4. Какое наибольшее количество прямоугольников 1 х 2 или 2 х 1 можно выпилить из фигуры, изображённой на рисунке?
Ответ: 28
7. В гостиничном комплексе номера украшены сувенирами трёх видов. Всего разложено 30 фигурок медведей, 25 матрёшек и 20 самоваров. В каждом номере гостиницы обязательно есть хотя бы один сувенир, причём несколько сувениров одного и того же вида в номере быть не может. Ровно в двух номерах есть одновременно самовар и матрёшка, ровно в трёх — самовар и медведь, ровно в четырёх — медведь и матрёшка. Определите возможное число номеров в гостинице. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
7.2. В гостиничном комплексе номера украшены сувенирами трёх видов. Всего разложено 30 фигурок медведей, 25 матрёшек и 15 самоваров. В каждом номере гостиницы обязательно есть хотя бы один сувенир, причём несколько сувениров одного и того же вида в номере быть не может. Ровно в двух номерах есть одновременно самовар и матрёшка, ровно в трёх — самовар и медведь, ровно в четырёх — медведь и матрёшка. Определите возможное число номеров в гостинице. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
7.4. В гостиничном комплексе номера украшены сувенирами трёх видов. Всего разложено 35 фигурок медведей, 30 матрёшек и 20 самоваров. В каждом номере гостиницы обязательно есть хотя бы один сувенир, причём несколько сувениров одного и того же вида в номере быть не может. Ровно в двух номерах есть одновременно самовар и матрёшка, ровно в трёх — самовар и медведь, ровно в четырёх — медведь и матрёшка. Определите возможное число номеров в гостинице. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
8. Сколько существует способов расставить знаки «больше» или «меньше» вместо V в ребусе KVOVPVOVY VKVA так, чтобы он имел решение? Разные буквы обозначают разные цифры, одинаковые — одинаковые.
8.2. Сколько существует способов расставить знаки «больше» или «меньше» вместо V в ребусе СУИУРСИ СУ У С так, чтобы он имел решение? Разные буквы обозначают разные цифры, одинаковые — одинаковые.
8.3. Сколько существует способов расставить знаки «больше» или «меньше» вместо V в ребусе KVYVC VO VK так, чтобы он имел решение? Разные буквы обозначают разные цифры, одинаковые — одинаковые.
8.4. Сколько существует способов расставить знаки «больше» или «меньше» вместо V в ребусе CV И УРСИ VY V С так, чтобы он имел решение? Разные буквы обозначают разные цифры, одинаковые — одинаковые.
Олимпиада по математике 8 класс школьный этап 2025
1. На клетчатом поле построили змейку из 50 уголков 4 х 4 (уголок — это квадрат 4 х 4, из которого удалили квадрат 3 х 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего и предыдущего ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
Ответ: 1302
1.2. На клетчатом поле построили змейку из 99 уголков 5 х 3 (уголок — это прямоугольник 5 х 3, из которого удалили прямоугольник 4 х 2) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки.
Ответ: 2576
1.3. На клетчатом поле построили змейку из 100 уголков 5 х 4 (уголок — это прямоугольник 5 х 4, из которого удалили прямоугольник 4 х 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки. Примечание: на рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы.
Ответ: 3002
1.4. На клетчатом поле построили змейку из 40 уголков 6 х 4 (уголок — это прямоугольник 6 х 4, из которого удалили прямоугольник 5 х 3) толщиной в одну клетку. На рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы. Каждый уголок, начиная с головы, касается только следующего (и предыдущего) ровно по стороне одной клетки и так до хвоста. Найдите периметр этой змейки. Примечание: на рисунке представлен фрагмент змейки, начинающийся с её головы.
Ответ: 1362
2. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 3 и rз=2. При каком наименьшем а такое возможно?
Ответ: 239
2.2. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 4 и r3=2. При каком наименьшем а такое возможно?
Ответ: 299
2.3. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 2 и r3=4. При каком наименьшем а такое возможно?
Ответ: 629
2.4. Натуральное число а разделили на натуральное число b и получили частное c1 и остаток r1. Затем c1 разделили на r1 и получили частное с2 и остаток r2. Разделив c2 на r2, получили c3 = 2 и r3=3. При каком наименьшем а такое возможно?
Ответ: 359
3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнес одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы пять рыцарей», или «Передо мной хотя бы шесть лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 7
3.2. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнес одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы шесть рыцарей», или «Передо мной хотя бы восемь лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 9
3.3. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы восемь рыцарей», или «Передо мной хотя бы семь лжецов». Затем все развернулись на 180 ° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 7
3.4. В ряд слева направо стоят несколько человек, каждый из которых — рыцарь или лжец. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, в ряду есть и те, и другие. Каждый смотрит либо на начало, либо на конец этого ряда. На просьбу сказать что-то о стоящих перед ним каждый произнёс одну из двух фраз: или «Передо мной хотя бы семь рыцарей», или «Передо мной хотя бы пять лжецов». Затем все развернулись на 180° и каждый опять сказал одну из тех же самых двух фраз (возможно, ту же самую, а может, другую). Из количества лжецов в ряду вычли количество рыцарей. Найдите наименьшее возможное значение этой разности.
Ответ: 40, 21
4. Семнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1300. Последнее, наибольшее, семнадцатое, равно 90. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: наибольшее — 69 наименьшее — 2
4.2. Пятнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1000. Последнее, наибольшее, пятнадцатое, равно 80. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 60, 2
4.3. Четырнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 800. Последнее, наибольшее, четырнадцатое, равно 70. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 51, 2
4.4. Шестнадцать различных натуральных чисел расположены в порядке возрастания. Их сумма равна 1350. Последнее, наибольшее, шестнадцатое, равно 100. Какое наибольшее и какое наименьшее значение может принимать второе число?
Ответ: 40, 21
5. В последовательности a1 = 5, a2 = 2, a3=3/5 каждый член определяется двумя предыдущими: a n+1 = an+1/an-1. Найдите a500.
Ответ: 3
Ответ: 1
Ответ: 2
6. В одной школе в математический кружок ходят 18 восьмиклассников и 20 девятиклассников, в другой — 16 восьмиклассников и 22 девятиклассника. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
6.2. В одной школе в математический кружок ходят 12 восьмиклассников и 22 девятиклассника, в другой — 14 восьмиклассников и 20 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего — из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
6.3. В одной школе в математический кружок ходят 14 восьмиклассников и 12 девятиклассников, в другой — 24 восьмиклассника и 20 девятиклассников. Всем Восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
6.4. В одной школе в математический кружок ходят 14 восьмиклассников и 18 девятиклассников, в другой — 12 восьмиклассников и 16 девятиклассников. Всем восьмиклассникам по 14 лет, а всем девятиклассникам — по 15. В каждом отделении кружка (каждом классе каждой школы) поровну мальчиков и девочек. Для участия в математическом конкурсе нужно выбрать трёх детей: двух из одной школы, а третьего — из другой. Двое детей из одной школы должны быть разного пола и возраста, а третий, из другой школы, должен совпадать с одним в этой паре по возрасту, а с другим — по полу. Сколькими способами можно выбрать такую тройку детей?
7. В равнобедренном треугольнике ABC AB = ВС. На стороне ВС выбрали точку D, а на стороне АВ — точку Е, так что BD = AE, a DE = BE. Найдите величину угла СЕА, если ABC = 28°. Ответ выразите в градусах.
7.2. В равнобедренном треугольнике BC AB = ВС. На стороне ВС выбрали точку D, а на стороне АВ — точку Е, так что BD = AE, a DE = BE. Найдите величину угла СЕА, если LABC — 26°. Ответ выразите в градусах.
7.3. В равнобедренном треугольнике ABC AB = ВС. На стороне ВС выбрали точку D. а на стороне АВ — точку Е, так что BD — AE, a DE = BE. Найдите величину угла СЕА, если АВС -34. Ответ выразите в градусах.
7. В равнобедренном треугольнике АВС АВ — ВС. На стороне ВС выбрали точку D, а на стороне АВ — точку Е, так что BD = AE, a DE — BE. Найдите величину угла СЕА, если LABC =32°. Ответ выразите в градусах.
8. Попарно различные натуральные числа a1, a2, a3, а4, a5, b1, b2, b3, b4, b5 таковы, что пять прямых у = а1х + b1, y = a2x + b2, y = a3x+bs, y = a4x + bs, y = a5x + b5 — пересекаются в одной точке. Числа С1, С2, С3, С4, С5 это числа 61, 62, 63, 64, 65 записанные в другом порядке. Оказалось, что прямые у = а1х + с1, у = а2х + С2, у=а3х + c3, у = а4х + с4, у = a5х + c5 тоже пересекаются в одной точке. Найдите минимально возможное значение суммы а161 + а2b2 + а3b3 + a4b4 + a5b5.
Олимпиада по математике 9 класс школьный этап 2025
1 задание:
На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников не являются квадратами 5 х 5?
Ответ: 1280
На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 3 х 3?
Ответ: 1260
На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 6 х 6?
Ответ: 1287
На шахматной доске можно выделить различные прямоугольники со сторонами, лежащими на сторонах клеток. Сколько прямоугольников НЕ являются квадратами 4 х 4?
Ответ: 1271
2 задание:
Сумма двух чисел равна корень из 69, а разность — корень из 37. Чему равно их произведение?
Ответ: 8
Сумма двух чисел равна корень из 65, а разность — корень из 29. Чему равно их произведение?
Ответ: 9
Сумма двух чисел равна корень из 75, а разность — корень из 31. Чему равно их произведение?
Ответ: 11
Сумма двух чисел равна корень из 77, а разность — корень из 53. Чему равно их произведение?
Ответ: 6
3 задание:
В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана ВМ, которая делит биссектрису CL в отношении 4:3. Найдите отношение площадей треугольников АВС и ALM.
Ответ: 8
В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана AD, которая делит высоту ВН отношении 5:3. Найдите отношение площадей треугольников ABC и CDH.
Ответ: 5
В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана AD, которая делит биссектрису ВЕ в отношении 6:5. Найдите отношение площадей треугольников АВС и CDE.
Ответ: 12
В остроугольном треугольнике АВС проведена медиана CN, которая делит высоту АН в отношении 7:5. Найдите отношение площадей треугольников АВС и BNH.
Ответ: 7
4 задание:
Функция удовлетворяет условию f(xy) = f(x) + f(y) для всех натуральных чисел x, у. Известно, что f(10) = 14 и f(40) = 20. Найдите f(1). Найдите f(2). Найдите f(500).
Ответ: 0, 3, 39
Функция f удовлетворяет условию f(x+ y) =f(x) f(y) для всех неотрицательных чисел х, у. Известно, что f(20) 25. Найдите f(0). Найдите f(10).
Ответ: 1; 5; 3125
Ответ: 0; 1; 30
5 задание:
Параболу, являющуюся графиком функции у = 2х2, отразили относительно прямой, описанной уравнением у = x + 3. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x = ay2 + by + c.
Ответ: a=2, b=-12, с=15
График функции у = 5х2 отразили относительно прямой, описанной уравнением у = 1 — х. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы х = ay2 + by + c.
Ответ: a=5, b=10, с=-4
Параболу, являющуюся графиком функции y=4×2, отразили относительно прямой, описанной уравнением y=x+1. Определите коэффициенты в уравнении получившейся параболы x=ay2+by+c.
Ответ: a=4; b=−8; c=3
Ответ: a=−3; b=12; c=−10
6 задание:
Андрей выкладывает картонные квадраты 3 х 3 вдоль диагонали квадрата 4 х 4 следующим образом: сначала по одному квадрату прикладывает к двум противоположным углам, а остальные равномерно выкладывает вдоль диагонали между первыми двумя (то есть центры квадратов делят отрезок между центрами крайних квадратов на равные отрезки). На рисунке показан пример для четырёх квадратов, которые покрывают область площади 44/3. Сколько необходимо квадратов, чтобы они покрыли площадь, равную 314/21? Чему равно минимальное количество квадратов, необходимое для того, чтобы покрыть площадь хотя бы корень из 224?
7 задание:
У Васи есть 35 картонных квадратов 1 х 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 5 х 7. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
У Васи есть 30 картонных квадратов 1 х 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 5 х 6. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
У Васи есть 20 картонных квадратов 1 х 1, стороны каждого покрашены в красный, жёлтый, зелёный и синий цвета; для всех квадратов эти стороны расположены одинаково относительно друг друга. Вася хочет из них сложить доску 4 х 5. Квадраты можно поворачивать и переворачивать, но соединять допустимо только по сторонам одного цвета. Доски, отличающиеся поворотом или переворотом, считаются разными. Сколько всего различных досок может собрать Вася?
8 задание:
У натуральных чисел m, n наибольший общий делитель — НОД (m, n) — равен 11. Найдите все возможные значения НОД (m² — 2mn + n², m² + 9mn + n²). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
У натуральных чисел a, b наибольший общий делитель — НОД(а, b)— равен 7. Найдите все возможные значения НОД(a2- 2ab +b2, 2 + 5ab + b2). Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Олимпиада по математике 10 класс школьный этап 2025
1 задание:
Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 750? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 21
Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 735? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 22
Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 525? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 20
Чему может быть равна сумма цифр четырёхзначного числа, если произведение его цифр равно 1050? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 23
2 задание:
В ряд лежат 28 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых четырёх подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых пяти — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 5, 6, 7
В ряд лежат 35 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых семи подряд идущих шариков не менее пяти красных, а среди любых четырёх — не менее одного синего. Сколько синих шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 8, 9, 10
В ряд лежат 30 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых трёх подряд идущих шариков не менее двух красных, а среди любых семи — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 21, 22, 23
В ряд лежат 25 шариков двух цветов: красные и синие. Известно, что среди любых пяти подряд идущих шариков не менее трёх красных, а среди любых шести — не менее двух синих. Сколько красных шариков могло быть в ряду? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 15, 16, 17
3 задание:
В трапеции ABCD точки Р и Q — середины оснований BC и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если LBAD = 33°, LCDA = 57°. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 114 градусов
В трапеции ABCD точки Р и Q-середины оснований ВС и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если BAD =36°, CDA 54. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 114
В трапеции ABCD точки Р и Q -середины оснований ВС и AD соответственно. Найдите угол между прямыми PQ и AD, если ВАD = 31°, CDA 59°. Ответ выразите в градусах.
Ответ: 108
4 задание:
Последовательность чисел (an) определяется следующим образом: a1=2, a2=12/13, an=an-2*an-1/2an-2-an-1 для всех n = 3, 4, . … Запишите значение a500 в виде несократимой дроби.
Ответ: 12/3499
Ответ: 3/799
Ответ: 10/2399
Ответ: 4/1499
5 задание:
График квадратичной функции f(x) = ax2 + bx + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 5, 12 и 13. Найдите с. Найдите f(3) + f(-3).
Ответ: 60/13 и 693/130
График квадратичной функции f(x) = ax2 + bx + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 6, 8 и 10. Найдите с. Найдите f(2) + f(2).
Ответ: -24/5; -119/15
График квадратичной функции f(x) = ax2 +bx + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 12, 16 и 20. Найдите с.
Ответ: -48/5; -238/15
График квадратичной функции f(x) = ax2 + х + с при а > 0 пересекает оси координат в трёх точках, образующих треугольник со сторонами 9, 12 и 15. Найдите с.
Ответ: -36/5; -1271/90
6 задание:
Назовём натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcde f — ab — cd — ef для некоторого шестизначного числа abcdef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 400000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
Назовем натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdefab cdef для некоторого шестизначного числа abadef. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 700000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
Назовем натуральное число разностным, если оно может быть представлено в виде abcdefab cd ef для некоторого шестизначного числа abade f. Сколько существует разностных чисел, не превосходящих 600000? Десятичная запись натурального числа не может начинаться с нуля.
7 задание:
Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n < 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью Я рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%,…, n-й — 1 %, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться 5, если существует единственное п, при котором предмет стоимостью 5 рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
900
910
920
925
950
970
Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив n < 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью Я рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, n-й — 1%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться S, если существует единственное n, при котором предмет стоимостью 5 рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
700
720
725
760
770
790
Иван готовится к переезду, поэтому он решил распродать ненужные вещи, пригласив п 10 соседей. Чтобы получить бесплатно предмет стоимостью 5 рублей, нужно выполнить условие: первый покупатель получает скидку 1%, второй — 2%, …, п-й 1%, после чего вычисляется общая сумма денег, которую должны были бы заплатить соседи (с учётом скидки). Если эта сумма составляет целое число рублей, то предмет достаётся им бесплатно! Чему могло равняться 5, если существует единственное п при котором предмет стоимостью 5 рублей окажется бесплатным? Выберите все подходящие варианты:
600
620
625
630
670
680
8 задание:
Окружности w1 и w2 имеют радиус 3 каждая, а расстояние между их центрами равно 2. Окружность w3 — это окружность наибольшего радиуса, касающаяся внутренним образом w1 и w2 лежащая внутри этих окружностей. Окружность w4 касается внутренним образом w1 и внешним w3. Найдите радиус окружности w4.
Олимпиада по математике 11 класс школьный этап 2025
1. Вика пошла в гости к своей подруге Ане. Вика помнит, что Аня живёт в 143-й квартире, причём в седьмом или восьмом подъезде. Ещё известно, что дом Ани пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Аня? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на втором этаже пятого подъезда.
Ответ: 1, 96
1.2. Артём пошёл в гости к своему другу Яну. Артём помнит, что Ян живёт в 79-й квартире, причём в пятом или шестом подъезде. Ещё известно, что дом Яна пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Ян? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на первом этаже четвёртого подъезда.
Ответ: этаж: 2 Наибольший номер квартиры: 48
1.3. Вова пошёл в гости к своему другу Саше. Вова помнит, что Саша живёт в 58-й квартире, причём в четвёртом или пятом подъезде. Ещё известно, что дом друга пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Саша? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на третьем этаже третьего подъезда.
Ответ: этаж: 4. Наибольший номер квартиры: 39
1.4. Витя пошёл в гости к своему другу Феде. Витя помнит, что Федя живёт в 111-й квартире, причём в шестом или седьмом подъезде. Ещё известно, что дом Феди пятиэтажный, а на каждом этаже во всех подъездах одинаковое число квартир. На каком этаже живёт Федя? Найдите наибольший номер квартиры, находящейся на четвёртом этаже четвёртого подъезда.
Ответ: Этаж: 3, Квартира: 76
2. Саша и Костя купили себе по 28 пар носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего белых пар купил Костя?
Ответ: 8
2.2. Саша и Костя купили себе по 34 пары носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего чёрных пар купил Костя?
Ответ: 26
2.3. Саша и Костя купили себе по 23 пары носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые -в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего белых пар купил Костя?
Ответ: 6
2.4. Саша и Костя купили себе по 21 паре носков каждый — некоторые пары белые, а некоторые чёрные, и у каждого носки обоих цветов присутствуют. Оба хранят носки каждый в своём шкафчике: все левые носки в одном разделе, а все правые — в другом. Оказалось, что выбирая по одному носку наугад из каждого шкафчика, Саша вытащит одноцветную пару с той же вероятностью, с какой Костя вытащит чёрную пару. Сколько всего чёрных пар купил Костя?
Ответ: 15
3. Последовательность (а) определена следующим образом: a1 = 1, a10=55, an+2 = 2an+1 — an для всех натуральных п. Найдите а3. Найдите сумму а1 +а2+ … + a100.
Ответ: а-13, б-29800
4. Дан ряд чисел 1, 2,…, 2046. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 15? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: Наибольшее 407. Наименьшее 5.
4.2. Дан ряд чисел 1, 2,…, 2067. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 21? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: Наибольшее количество: 99 Наименьшее число: 7
4.3. Дан ряд чисел 1, 2, …, 2074. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 24? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: наибольшее 86. Наименьшее число в наборе: 8 и 24
4.4. Дан ряд чисел 1, 2,…, 2025. Какое наибольшее количество чисел можно выбрать среди них так, чтобы сумма любых трёх выбранных чисел делилась на 18? Чему может быть равно наименьшее число из набора с наибольшим количеством чисел из предыдущего пункта? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Ответ: 113, 6
5. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС точка М — середина АС, N — середина ВС. Биссектриса угла ВАС пересекает прямую MN в точке К. Найдите AB +2KN, если BC = 18, tg ACB 40/9
Ответ: 82
6. Решите уравнение в натуральных числах: 2×2+5y2-4xy+7=8x+2y. Для каждой пары решений (х; у) в ответ напишите сумму х + у. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
7. В тетраэдре АВСD рёбра AD и ВС перпендикулярны. Пусть АН И DE- высоты тетраэдра. Найдите НЕ, если известно, что AD = 16, а угол между плоскостями АВС и BCD равен 30°. Ответ округлите до целых. Напомним, что высотой тетраэдра называется отрезок, проведённый из вершины к плоскости противоположной грани и перпендикулярный ей.
8. На «Кивипедии» есть несколько статей. В каждой статье имеется хотя бы одна ссылка на другую статью, а также на каждую статью «Кивипедии» ведёт ссылка с хотя бы одной другой статьи, но никакие две статьи не ссылаются друг на друга. Кроме того, известно, что со страницы «Киви (фрукт)», переходя по ссылкам, невозможно дойти до страницы «Киви (птица)». Редакторы хотят добавить ровно одну ссылку в ровно одну статью так, чтобы с каждой статьи, переходя по ссылкам, можно было добраться до любой другой (после этого две статьи могут ссылаться друг на друга). Оказалось, что это получится сделать № способами. Каким числам НЕ может равняться №? Выберите все подходящие варианты.
Олимпиада Сириус по математике 3 4 группа регионов 16 октября 2025:
Астраханская область 50. Курганская область 51. Омская область 52. Оренбургская область 53. Пермский край 54. Республика Башкортостан 55. Самарская область 56. Саратовская область 57. Свердловская область 58. Тюменская область 59. Удмуртская Республика 60. Ульяновская область 61. Ханты-Мансийский автономный округ — Югра 62. Челябинская область 63. Ямало-Ненецкий автономный округ
Алтайский край 65. Амурская область 66. Еврейская автономная область 67. Забайкальский край 68. Иркутская область 69. Камчатский край 70. Кемеровская область — Кузбасс 71. Красноярский край 72. Магаданская область 73. Новосибирская область 74. Приморский край 75. Республика Алтай 76. Республика Бурятия 77. Республика Саха (Якутия) 78. Республика Тыва 79. Республика Хакасия 80. Сахалинская область 81. Томская область 82. Хабаровский край 83. Чукотский автономный округ.
