Ответы и решения на все задания для 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса олимпиада по математике школьный этап 2024 официальной всероссийской олимпиады школьников ВСОШ для 3-4 группы регионов Сириус дата проведения 18 октября онлайн на сайте.
Ответы для 4 класса по математике
Задание 1. Между городами Амск и Итбург на шоссе расположены 5 деревень. Первый путешественник проехал сначала Котино, затем две деревни, названия которых он не запомнил, потом Уездово и ещё одну деревню. Второй путешественник запомнил только три деревни, которые шли подряд Уездово, Грачёво и Сонино, но забыл, в каком порядке. Мэр Итбурга рассказал нам, что две самые близкие деревни Уездово и Лисье. Какая деревня может быть третьей по счёту от Амска? Выберите все подходящие варианты:
Лисье
Сонино
Котино
Грачёво
Уездово
Ответ: Грачёво, Сонино
Задание 2. У вас есть три уголка из трёх клеток. Какую фигурку нельзя сложить из трёх уголков?
Ответ: 5 фигуру
Задание 3. Несколько тигров и леопардов остановились в ресторане для животных, причём тигриных лап оказалось в восемь раз больше, чем хвостов леопардов. Во сколько раз лап леопардов больше, чем тигриных хвостов?
Ответ: 2
Задание 4. Каждый торт состоит из четырёх или пяти одинаковых коржей, между каждыми двумя коржами обязательно должен быть или слой крема, или слой джема. Известно, что в каждом торте есть и крем, и джем. Кондитер хочет сделать несколько тортов, при этом он заказал джема на 15 слоёв и крема на 42 слоя. Сколько коржей потребуется кондитеру?
Ответ: 72
Задание 5. Числа 10, 11 и так далее до 99 выписали в ряд без пропусков. Получилось 1011121314…9899. Дальше из этого длинного ряда вычеркнули 100 цифр так, чтобы осталось наибольшее число. Понятно, что на первом месте стоит 9. А на каком месте, считая с начала, впервые встретится цифра, не равная 9?
Задание 6. На застолье слона пришло двенадцать его друзей‑слонов в возрасте шести, семи, восьми, девяти и десяти лет. Из всех этих слонов пятерым было по 6 лет, а слонов, которым по 8 лет, оказалось больше всех. Определите суммарный возраст четырнадцати слонов. Ответ выразите в годах.
Задание 7. Сашин пароль состоит из 8 прописных букв латинского алфавита (в латинском алфавите 26 букв). В пароле Саши есть подряд идущие буквы, образующие слово MATH, и подряд идущие буквы, образующие слово DRAMA. Сколько всего существует вариантов, подходящих для Сашиного пароля?
Задание 8. За большим круглым столом равномерно расставлены 100 стульев. Они раскрашены в 20 цветов так, что стулья каждого цвета стоят через равные промежутки и имеется ровно по 5 стульев каждого из цветов. Известно, что стул с номером 32 белый. Найдите номера остальных белых стульев. Каждый ответ записывайте в отдельное поле в любом порядке.
Ответы для 5 класса по математике
Задание 1. Двое рабочих стоят по бокам от ямы и держат на верёвке тяжёлый груз. Левый рабочий отошёл на 25 м, держа в руках верёвку, а правый на 43 м. На сколько метров поднялся груз?
Ответ: 34
Задание 2. Фигуру на рисунке разрезали на 6 равных частей (части можно поворачивать и переворачивать). Какие части это могли быть?
Ответ: 1 рисунок
Задание 3. На Луне живут четверуки и моноруки. У каждого четверука по четыре руки, а у каждого монорука одна. Однажды 150 четверуков выстроились в цепь (каждый взял за одну руку предыдущего и следующего четверука, если таковые есть; имеются первый и последний четверук). Остальные руки они протянули монорукам. Сколько моноруков смогут поучаствовать в таком рукопожатии?
Ответ: 302
Задание 4. Петя пришёл в новый класс и составил схему, кто с кем из его одноклассников дружит в социальной сети. У него получилась следующая картинка.
Его папа сказал, что эта схема слишком сложна, и перерисовал её.
Установите соответствие между именами одноклассников Пети и номерами на папиной картинке. 1 2 3 4 5 6 7 Егор Боря Женя Гена Дима Андрей Витя
Ответ: 1Б2А3Ж4Е5Г6В7Д
Задание 5. Двенадцать человек встали в круг сперва 6 рыцарей, затем 6 лжецов. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Сколько человек могут сказать фразу «Среди четверых людей справа от меня есть хотя бы два лжеца»?
Задание 6. В ребусе ЛАПША+ШПАЛА+ШАЛАШ+ПАЛАШ замените каждую букву на цифру так, чтобы получившееся значение было наименьшим. Одинаковые буквы соответствуют одинаковым цифрам, а разные разным; числа не могут начинаться с нуля. В ответ запишите значение выражения.
Задание 7. Максим пришёл в тир и купил 25 пулек. Взглянув на стеллаж с мишенями, он увидел, что в нижнем ряду стоят пластиковые бутылки, над ними столько же алюминиевых банок. В третьем (самом верхнем) ряду располагались фигурки животных в том же количестве. За каждую сбитую бутылку дают по 100 очков, за банку 130 очков, а за фигурку 160. Максим решил стрелять по рядам слева направо, начиная с верхнего ряда, и ни разу не промахнулся, однако пулек хватило не на все мишени. Тогда Максим заметил, что если бы он начал с нижнего ряда, то в итоге получил бы на 660 очков меньше. Сколько всего мишеней было в тире?
Задание 8. Аня отметила на прямой несколько точек. Оказалось, что третья слева точка принадлежит ровно 26 отрезкам с концами в отмеченных точках. Сколько всего точек отмечено?
Ответы для 6 класса по математике
Задание 1. На индикаторе топлива в автомобиле показывается, какая часть топливного бака заполнена топливом. На рисунке показан индикатор в начале и в конце поездки.
Найдите ёмкость топливного бака, если на поездку было потрачено 1818 литров бензина. Ответ выразите в литрах.
Ответ: 32
Задание 2. Назовём число подходящим, если оно делится на 2 и 3, не делится на 4 и на 5, делится на 6 и на 7, но не делится на 8 и 9. Сколько подходящих чисел среди натуральных чисел от 1 до 550?
Ответ: 5
Задание 3. Фигура на рисунке составлена из пяти одинаковых квадратов, площадь каждого из которых равна 100 см2. Чему равен периметр этой фигуры? Ответ выразите в сантиметрах.
Ответ: 120
Задание 4. Коля подсчитал, сколько четвергов, пятниц и суббот было в сумме за период в два месяца. Оказалось, что суббот и четвергов было поровну, а пятниц меньше. А с какого дня начинался месяц, предшествовавший этим двум?
С понедельника
Со вторника
Со среды
С четверга
С пятницы
С субботы
С воскресенья
Ответ: с субботы
Задание 5. Компания из 9 друзей заказала на всех шесть разных пицц. Каждая пицца была разрезана на 4 куска. Каждый из друзей попробовал хотя бы один кусок, и всё было съедено. Ни один кусок не резали дополнительно. Выберите все утверждения, которые будут гарантированно правильными:
Кто‑то из них съел как минимум три куска
Кто‑то съел четыре ломтика
Каждый съел не менее двух кусков
Хотя бы двое съели по два кусочка
Кому‑то достался только один кусочек
Некоторые съели по два куска, а остальные съели по три куска
Задание 6. На олимпиаде Катя, Мотя, Федя и Паша решали задачи, причём Катя решила на 5 задач больше Феди, а Мотя на 6 задач больше Паши. Все решили разное число задач. Учитель послал в Москву на проверку только две лучшие работы, в которых в сумме было решено 19 задач. Сколько задач было решено во всех четырёх работах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Задание 7. В корзине лежат яблоки и сливы. Все яблоки весят одинаково, и все сливы тоже. Оказалось, что сливы составляют 3/5 от общего количества фруктов, а вот масса слив 1/3 от общей массы фруктов. Каждое яблоко весит 180 г. Сколько весит слива? Ответ выразите в граммах.
Задание 8. В футбольном турнире все команды должны были сыграть друг с другом ровно один раз. Однако уже во время турнира четыре команды отказались от участия. Мы знаем, что каждая из выбывших сыграла по две игры и что в соревновании было сыграно ровно 56 игр. Сколько команд стартовало в турнире?
Ответы для 7 класса по математике
Задание 1: Костя начал выписывать в порядке возрастания все числа, для которых одновременно выполняются следующие условия: состоят только из цифр 5 и 8; имеют столько же пятёрок, сколько восьмёрок; делятся на 3. Какое число у Кости стоит на втором месте?
Ответ: 558588
Задание 2: Дима отправился гулять по квадрату 200×200, от правого верхнего угла к центру. Сперва он идёт по верхней строке до второго столбца, поворачивает налево, доходит до третьей снизу строки, поворачивает налево, доходит до четвёртого справа столбца и т. д., пока не окажется в одной из четырёх центральных клеток. На рисунке изображён такой путь для доски 8×8, и он состоит из 16 клеток.
Определите длину пути для доски 200×200
Ответ: 10000
Задание 3: Имеется 9 коробок, в каждую из которых положили синие и красные шарики, так что в каждой коробке есть хотя бы один синий и хотя бы один красный шарик. Коля нашёл разницу между количеством шариков разных цветов в каждой коробке (если они не равны, то из большего вычел меньшее). Эти числа написал на коробках. Оказалось, что было написано 9 разных чисел. Какое минимальное количество шариков может лежать суммарно во всех коробках, если известно, что общее количество красных шариков такое же, как общее количество синих?
Ответ: 54
Задание 4: В одной комнате собрались 5 девочек: Аня, Белла, Вера, Галя и Даша и подсчитали количество съеденных ими за неделю конфет. Оказалось, что если из комнаты выйдет Аня, то среднее арифметическое количества съеденных за неделю конфет четырёх оставшихся девочек будет равно 59. Аналогично без Беллы это число будет равно 53, без Веры 57, без Гали 56, без Даши 45. Как зовут девочку, которая съела больше всего конфет за эту неделю?
Аня
Белла
Вера
Галя
Даша
Сколько конфет она съела?
Ответ: Даша, 90
Задание 5: Из четырёх одинаковых кирпичей сложили конструкцию, как показано на рисунке. Известно, что суммарная площадь поверхности этой конструкции (сверху, снизу, со всех боков) равна 816 см2. Найдите площадь поверхности одного кирпича. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.
Задание 6: Барабашка живёт в раздевалке, где стоят шкафчики с номерами от 73 до 89. Однажды ночью Барабашка занялся колдовством: он стал произносить вслух числа натурального ряда, начиная с 1. При этом, если номер шкафчика делится на называемое число, то шкафчик подпрыгивает один раз, в противном случае стоит смирно. Безобразия прекратились, как только было произнесено число, в ответ на которое ни один шкафчик не среагировал. Какое это было число? Шкафчик с каким номером подпрыгнул наибольшее число раз?
Задание 7: На дне рождения у Дядьки Черномора присутствовали все 33 богатыря. Черномор угощал их тортом по очереди. Первый богатырь съел 1/4 всего торта, второй 1/5 оставшегося, третий 1/6 оставшегося и так далее. Наконец 3-й богатырь съел 1/36 оставшегося куска, и то, что осталось, съел Черномор. Кто съел больше: первый богатырь или Черномор?
Во сколько раз? Если богатырь и Черномор съели поровну, в ответ запишите 1
Задание 8: Муми‑мама испекла три одинаковые пиццы в виде правильного шестиугольника и сложила их рядом, как показано на рисунке.
Муми‑тролль сделал два прямых разреза, как на рисунке, и взял себе кусочек, отмеченный красным.
Какую часть одной пиццы взял себе Муми‑тролль?
Ответы для 8 класса по математике
Задание 1: Попарно различные числа x, y и z таковы, что xy−2z=xz−2y. Найдите x.
Задание 2: Лена сделала шарнирный подвижный четырёхугольник KLMN с длинами сторон KL=75, LM=76, MN=79 и KN=77. Какой из углов этого четырёхугольника может быть больше 180 градусов? Выберите все возможные варианты:
K
L
M
N
Ни один из перечисленных
Задание 3: На рисунке изображена фигура, состоящая из 369 единичных клеток.
Найдите длину отрезка AB.
Задание 4: Число 328_16 делится на каждую из своих цифр. Восстановите пропущенную цифру.
Задание 5: На сторонах BC и CD квадрата ABCD отмечены точки K и L соответственно. Оказалось, что AK=2KL, ∠AKL=90, AL=10. Найдите сторону квадрата.
Задание 6: В двух кабинетах было по 30 учеников, причём в каждом из них по 15 мальчиков и 15 девочек. После того как десять учеников перебежали из второго кабинета в первый, оказалось, что 40 % учеников в первом кабинете мальчики. А сколько процентов детей во втором кабинете являются мальчиками?
Задание 7: Сто рыцарей, сто лжецов и сто болванов сидят за круглым столом в каком-то порядке. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут, а болваны всегда повторяют последнюю услышанную фразу. Каждый сказал одну из фраз: «Мой сосед справа рыцарь», «Мой сосед справа лжец» или «Мой сосед справа болван», причём каждую следующую фразу говорил сидящий справа от того, кто сказал предыдущую фразу. Какое наибольшее количество фраз «Мой сосед справа рыцарь» могло быть произнесено?
Задание 8: Даны a𝑎, b>0. Точки пересечения прямых y=ax+a, y=ax+b, y=bx+a и y=bx+b образуют четырёхугольник. Точка пересечения диагоналей этого четырёхугольника имеет ординату, равную 30. Найдите максимальную из ординат вершин этого четырёхугольника.
Ответы для 9 класса по математике
Задание 1: На координатной плоскости OXY отметили все точки (x , y), координаты которых удовлетворяют уравнению x2+4xy+4y2=0 . Что за множество получилось? Две параллельные прямые Одна точка Окружность Две пересекающиеся прямые Пустое множество Прямая Парабола
Задание 2: В треугольник со сторонами 6, 7 и 8 вписана окружность. Петя посчитал расстояния от каждой из вершин треугольника до ближайшей точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Чему равно наименьшее из этих расстояний?
Задание 3: У Пети есть по одной карточке с цифрами 9, 7, 4, 0, 1 Он составил из них пятизначное число. Вася составил из них другое пятизначное число, вычел из большего меньшее и записал результат на доске. Получилось четырёхзначное число, состоящее из различных цифр, отличных от изначальных. Какая цифра осталась не задействована? Числа не могут начинаться с 0 .
Задание 4: Родители с сыном отправились по тропе к озеру. Сын сразу пошёл вперед, а дойдя до озера, повернул назад и шёл, пока не встретил идущих медленнее родителей. Длина его пути до озера оказалась равна 500 шагам, а назад до родителей 400 шагам. Общее потраченное сыном время до встречи с родителями т. Через сколько минут после встречи с возвращающимся сыном родители дойдут до озера? Считаем, что шаги имеют равную длину, скорости сына и родителей постоянны.
Задание 5: Натуральные корни x1 и x2 многочлена x2−bx+cтаковы, что произведение bcx1x 2 равно 11700. Найдите наибольшее возможное значение c.
Задание 6: В треугольнике ABC отрезки BD и BE делят угол ∠ABC на три равные части. Отрезки CF и CG делят угол ∠ACB на три равные части. Отрезки BD и CF пересекаются в точке M, а отрезки BE и CG пересекаются в точке N. Известно, что ∠BMC=107∘, ∠BNC=109∘. Найдите углы треугольника ABC. ∠ABC=∠BAC
Задание 7: В кругу сидели 24 болельщика команд «Шайба» и «Зубило». Каждый болел ровно за одну из этих двух команд. Каждый болельщик сказал своему соседу слева одну из двух фраз: или «ты болеешь за ту же команду, что и мой сосед справа», или «вы с моим соседом справа болеете за разные команды». Оказалось, что ровно половина болельщиков сказала первую фразу и ровно половина вторую. При этом каждый говорил правду, если обращался к своему единомышленнику (болеющему за ту же команду), и лгал, если обращался к фанату другой команды. Какое максимальное количество болельщиков «Шайбы» могло быть?
Задание 8: В океане кораллы часто сливаются в единый организм для лучшего выживания. При слиянии двух кораллов с M и N щупальцами вместо них образуется один коралл с (M+N−1 ) щупальцами. Вначале имеется 100 кораллов с тремя щупальцами, 101 коралл с четырьмя щупальцами и 102 коралла с пятью щупальцами. После нескольких слияний остался один коралл. Какое наибольшее количество щупалец у него может быть?
Ответы для 10 класса по математике
Задание 1: Запишите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в десятичной записи которого присутствуют только цифры 7 и 0.
Задание 2: Имеется бумажный прямоугольник. Если его разрезать восемью параллельными разрезами на 9 одинаковых маленьких прямоугольников, то периметр каждого маленького прямоугольника будет в 3 раза меньше, чем периметр исходного прямоугольника. Найдите отношение большей стороны к меньшей стороне исходного прямоугольника.
Задание 3: На одном чертеже изображены графики четырёх функций вида y=x2+2bx+2c. Сколько точек пересечения этих графиков может быть? Выберите все возможные варианты:
Задание 4: Сколько существует таких троек натуральных чисел (A, B, N), что A+B=38, а B больше A ровно на N процентов?
Задание 5: За круглым столом собрались 17 человек, каждый из них либо лжец, который всегда врёт, либо рыцарь, который всегда говорит правду. Каждый из сидящих за столом сделал заявление: «Среди четырёх ближайших ко мне в круге людей (2 соседа справа и 2 соседа слева) есть хотя бы один лжец!» Сколько лжецов могло быть в круге? Укажите все возможные варианты, записывая каждый в отдельное поле.
Задание 6: Имеется восемь одинаковых игральных кубиков, на гранях которых написаны натуральные числа от 1 до 6. Кубики таковы, что на любой паре противоположных граней написаны числа, отличающиеся на 1. Из этих восьми кубиков собрали куб размером 2×2×2 так, что сумма чисел на любых двух прислонённых друг к другу гранях оказалась равна 7. При этом сумма чисел на верхней грани этого большого куба равна 11. Найдите сумму чисел на нижней его грани.
Задание 7: Дан треугольник ABC с углом B, равным 60∘. В точках A и C провели две касательные к описанной окружности ABC, пересекающиеся в точке P. Перпендикуляр к BC, восстановленный в точке C, пересекает прямую AB в точке Q. Найдите ∠CQP, если ∠BAC=40∘.
Задание 8: Назовём натуральное число интересным, если в его двоичной записи не более 2 единиц. Например, числа 4=1002 и 40=1010002 интересные, а число 14=11102 интересным не является. Сколько существует интересных чисел, меньших 8000?
Ответы для 11 класса по математике
Задание 1: Известно, что сумма квадратов корней трёхчлена x2+3ax+3b равна сумме квадратов корней трёхчлена x2+3bx+3a. Чему равно a+b, если a≠b?
Задание 2: Известно, что F(F(x))=9x−4F. Какой может быть функция F(x)?
F(x)=9×2−4
F(x)=3√x−2
F(x)=3x+1
F(x)=3x−2
F(x)=3x−1
F(x)=(9x−4)2
Задание 3: Назовём простое число разложимым, если его можно представить в виде суммы 9 составных чисел (не обязательно различных). Найдите наибольшее простое число, которое не является разложимым.
Задание 4: Бумажный прямоугольник ABCD со сторонами AB=10 и BC=24 согнули по прямой так, что вершина D попала в вершину B. Найдите длину линии сгиба.
Задание 5: Ровно в полдень муравей выбегает из муравейника и по прямой тропинке бежит к полю. Через минуту вслед за ним выбегает второй муравей и бежит вслед за первым, но со скоростью на 1 см/мин большей, чем скорость первого. И так далее: каждую минуту из муравейника выбегает следующий муравей и бежит вдогонку за остальными со скоростью на 1 см/мин большей, чем скорость предыдущего. Какой по счёту муравей будет возглавлять процессию через 2 часа, если скорость первого муравья равна 70 см/мин? Если муравьёв будет несколько, укажите их всех.
Задание 6: На плоскости проведено 11 прямых. Известно, что если выбрать из этих прямых любые 4, то среди выбранных прямых найдутся хотя бы две параллельные. Какое наибольшее количество точек пересечения могут иметь между собой все проведённые прямые?
Задание 7: Коля придумал функцию f(x)=(x−100)(2x−200)(4x−400)−(ax3+bx2+cx+d)
При некоторых фиксированных значениях параметров (a, b, c, d) функция f(x) такова, что:
Найдите значение параметра aa.
Задание 8: Известно, что количество способов вырезать по линиям сетки из клетчатого квадрата N×N квадрат 2×2 в 6 раз меньше, чем количество способов вырезать из этого же квадрата фигуру Г-тетрамино (см. рисунок).
Найдите сторону N такого квадрата. Фигуру можно поворачивать и переворачивать.
Данные ответы и задания подойдут для регионов:
Астраханская область 50. Курганская область 51. Омская область 52. Оренбургская область 53. Пермский край 54. Республика Башкортостан 55. Самарская область 56. Саратовская область 57. Свердловская область 58. Тюменская область 59. Удмуртская Республика 60. Ульяновская область 61. Ханты-Мансийский автономный округ — Югра 62. Челябинская область 63. Ямало-Ненецкий автономный округ 64. Алтайский край 65. Амурская область 66. Еврейская автономная область 67. Забайкальский край 68. Иркутская область 69. Камчатский край 70. Кемеровская область — Кузбасс 71. Красноярский край 72. Магаданская область 73. Новосибирская область 74. Приморский край 75. Республика Алтай 76. Республика Бурятия 77. Республика Саха (Якутия) 78. Республика Тыва 79. Республика Хакасия 80. Сахалинская область 81. Томская область 82. Хабаровский край 83. Чукотский автономный округ.
Смотрите также на сайте олимпиады:
