Ответы и решения на все задания для 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класса олимпиада по математике школьный этап 2024 официальной всероссийской олимпиады школьников ВСОШ для Московской области дата проведения 29 сентября – 1 октября. Для каждого класса по 8 заданий.
Скачать ответы на все задания (уже решили)
Ответы для 4 класса по математике
1. Таня складывала со стола конфеты в мешок и считала их количество. Когда она сосчитала конфеты до 20-ой, то поняла, что устала, и начала каждые 4 конфеты считать за одну (21, 22, 23, 24 конфеты считались как 21-ая). Сложив все конфеты в мешок, она досчитала таким образом до 28. Сколько конфет было у Тани в мешке на самом деле?
2. Дата называется «значимой», если в её записи встречаются ровно четыре цифры 1. Дата записывается в формате ДД.ММ.ГГГГ. Сколько значимых дат было в 2021 году?
3. Юля решила, что перемещения по клетчатому полю можно совершать с помощью только двух шагов: шаг – «ЗигЗаг» и шаг – «Заг» (шаг может быть выполнен в любую сторону в рамках клетчатого поля, с любым поворотом фигуры). Юля начинает свой путь из клетки, отмеченной человечком, и делает ровно один шаг.
Выберите рисунки (один или несколько), на которых показаны только такие точки, в которые она могла попасть после этого шага. Чтобы увеличить изображение, нажмите на значок, расположенный в его верхнем правом углу.
4. Оля подкидывает волшебную монетку, и если выпадает решка, то количество монет в ее копилке увеличивается на две, а если выпадает орел, то уменьшается втрое. Известно, что первой выпала решка, затем орел, а потом три раза подряд решка. После этого в копилке оказалось 22 монетки (волшебная монетка не находится в копилке).
Сколько монет было в копилке изначально?
5. На электронной доске написано число 2562893. Каждую минуту две соседние цифры, сумма которых максимальна, исчезают и заменяются на единицу.
Какое число будет на доске через три минуты?
6.В соревновании по бегу участвовали Анна, Света, Кира, Лена, Даша и Юля. Таблицу результатов потеряли, но остались записки смотрящего. Известно, что:
Юля пришла перед Кирой, но после Анны.
Лена финишировала сразу за Дашей.
Аня не одержала победу.
Кира уступила Лене, но обогнала Свету.
Укажите, какое место заняла каждая из девочек.
1 место
2 место
3 место
4 место
5 место
6 место
*Перетащите элементы на пустые поля сверху
Кира
Юля
Аня
Даша
Света
Лена
7. Шесть подруг жили в разных домах. Известно, что между домами проходит несколько дорог, длины которых указаны на картинке. Оля хотела прийти в гости к Тане, а Алиса – к Рите. Девочки ходят с одинаковой скоростью и не любят долго находиться на улице, поэтому идут по самому короткому пути.
Кто дойдет до дома подруги быстрее: Оля или Алиса? В качестве ответа введите длину того пути (в метрах), по которому шла девочка, которая пришла быстрее.
8. Алена, Оля и Лиза получили оценки за контрольную работу. Известно, что у всех девочек оценки разные, и каждая из них один раз сказала правду и один раз солгала, рассказывая про итоги работы:
Алена: Я выполнила работу на 5. Оценка Лизы ниже 4.
Оля: Лиза получила 2. Моя оценка выше 2.
Лиза: Оля написала работу на 3. Я получила выше 4.
Укажите, кто какую оценку получил на самом деле? Перенесите оценку за контрольную работу на
нужное место.
Оля
Алена
Лиза
Ответы для 5 класса по математике
Задание 1. Турнир.
Для проведения турнира нужно распределить 83 мальчика по 4 командам так, чтобы во всех командах количество мальчиков было различным, но при этом отличалось максимум на 4 человека.
Возможно ли это? Если ответ ДА, то введите количество детей в таких четырех командах. Число детей в каждой команде запишите в отдельное поле, в порядке возрастания. Никаких иных символов, кроме используемых для записи числа (знаков препинаания, пробелов), быть не должно. Пример: 12. Если ответ НЕТ, то во всех полях напишите 0.
Задание 2. Максимальное число.
Юля нашла максимальное трехзначное четное число, каждая цифра которого меньше предыдущей на 1 или на 3 .Укажите это число.
Задание 3. Игра в города.
Утром на школьной доске были выписаны города в таком порядке: Мурманск, Киров, Псков, Братск, Краснодар, Барнаул. После каждого звонка Оля подходит к доске и меняет местами либо все города с одинаковыми буквами на первом месте, либо все города с одинаковыми буквами на последнем месте, чередуя эти действия. До первого звонка она ничего не меняет. Оля решила, что после первого звонка она поменяет города, которые заканчиваются на одну букву. Какая последовательность городов будет написана на доске после четырех звонков?
Задание 4. Спрятанные доски.
У Никиты есть три доски размером 1м Х 1м, три доски размером 2м Х 2м, три доски размером 4м Х 4 м и еще три доски размером 8м Х 8м. Наташа спрятала некоторые из них. Общая площадь оставшихся досок составила 114 квадратных метров.
Сколько досок спрятала Наташа?
Задание 5. Общее количество.
Катя, Юля и Таня купили себе красивые ручки. У Кати ручек меньше 5. У Юли ручек больше 6 и меньше, чем у Тани. А у Тани ручек ровно в 2 раза больше, чем у Кати.
Сколько всего ручек у девочек?
Задание 6. Кто же сказал правду?
Фиона, Шрэк, Кот и Осел решили сыграть в игру, где каждый игрок либо всегда говорит правду, либо всегда лжет. Играя, они сказали следующее:
Фиона: «Я единственная говорю правду!»
Шрэк: «Как минимум двое из присутствующих — лгуны».
Кот: «Среди нас точно есть вруны».
Осел: «Я точно не говорю правду!»
Кто из героев говорит правду? Укажите имена только тех персонажей (одного или нескольких), которые говорят правду.
Шрэк
Фиона
Кот
Осел
Задание 7. Площадь квадрата.
В квадрате провели несколько отрезков, разбив его на 4 фигуры. Сумма периметров трех белых треугольников на 14 сантиметров больше периметра серой фигуры.
Укажите, чему равна площадь изначального квадрата.
Задание 8. Закрашенные клетки.
Куб с ребром длины 2 показан на рисунке под тремя разными углами. Каждая сторона разделена на четыре квадрата со стороной 1.
Сколько всего серых клеток на всей поверхности куба?
Ответы для 6 класса по математике
1.Аня в три раза старше Никиты. Ксюша на 10 лет моложе Ани и на 6 лет старше Никиты.
Чему равна сумма возрастов всех детей в годах?
2.На билете был написан номер 92121967 Юля разрезала билет на три части, получив три числа. (Разрезать билет можно только вертикальными разрезами между цифрами.) Затем она сложила полученные числа.
Какой наименьший возможный результат она могла получить?
3. Каждый из 8 друзей купил себе несколько булочек с маком и с клубникой, хотя бы по одной каждого вида. Известно, что если количество всех купленных булочек с маком увеличить в три раза, то их все равно будет меньше, чем булочек с клубникой. А вот если к количеству купленных булочек с маком прибавить 18 то их станет больше, чем булочек с клубникой.
Сколько было куплено булочек с маком?
Сколько было куплено булочек с клубникой?
4. Периметр треугольника BCD равен 1 см, что в два раза меньше, чем периметр треугольника BAF, и в три раза меньше, чем периметр треугольника FED. Известно, что периметр треугольника FBD — натуральное число, равное полусумме периметров каких-то двух из уже рассмотренных треугольников.
Чему равен периметр многоугольника ABCDEF?
5. На прямой сначала нанесли разметку (одно деление равно одному единичному отрезку). Затем на полученной числовой прямой отметили семь натуральных чисел a, b, c, d, e, f,g . Оказалось, что больше половины отмеченных чисел четные, и больше трети — делятся на .
Укажите, какие из отмеченных чисел гарантированно делятся на 6?
a
b
c
d
e
f
g
6.В компании из пяти человек: Арины, Тихона, Васи, Дениса и Миши один всегда лжет, в то время как остальные четверо всегда говорят правду. Ребята сделали следующие заявления:
Арина: «Палатка есть у всех, кто любит ходит в поход».
Тихон: «Я люблю ходить в поход».
Вася: «Врун любит ходить в поход».
Денис: «Дома у меня есть палатка».
Миша: «Врут все, у кого есть палатка».
Определите, кто из ребят лжет.
Миша
Арина
Тихон
Вася
Денис
7. Марина хочет вписать в каждый из семи шестиугольников по одному числу таким образом, чтобы сумма чисел в шести внешних шестиугольниках была равна 171 Кроме того, она хочет, чтобы сумма чисел в любых трех шестиугольниках, расположенных на одной прямой, также была равна 171 (шестиугольники расположены на одной прямой, если они граничат с центральным шестиугольником по двум его противоположным сторонам).
Какое число Марина должна написать в центральном шестиугольнике?
8.Десять одинаковых кубиков размером 1x1x1 размещают на доске размером 2×2 так, что некоторые кубики стоят друг на друге. На приведенных ниже картинках указано, как располагаются кубики при трех вариантах размещения. Число в каждой клетке обозначает количество кубиков, стоящих на ней. В таких положениях кубики склеивают и считают площадь поверхности каждой из трех получившихся фигур. (Учитывая все стороны: боковые, нижние и верхние.)
Расставьте данные варианты склейки по порядку возрастания площадей поверхности и укажите величину наибольшей площади. Если площади одинаковы, то поставьте буквы в алфавитном порядке. Например, ответ может выглядеть так: АБВ18.
Ответы для 7 класса по математике
Задание 1. Важная ложь.
На острове живут рыцари и лжецы: рыцари всегда говорят правду, лжецы – лгут. В круг выстроились 41 островитянин. Один из них сказал: «Сегодня пасмурно». Каждый следующий по очереди в кругу заявил: «Человек до меня – лжец».
Какое наибольшее количество рыцарей могло быть?
Задание 2. Интересное число.
Раил задумал четырёхзначное число. Оно обладает следующими свойствами:
1) Делится без остатка на 5,
2) Цифра сотен в два раза меньше, чем цифра десятков,
3) Сумма первой и последней цифры в 4 раза меньше двузначного числа, образованного второй и третьей цифрами задуманного числа
4) Цифра в разряде тысяч больше цифры в разряде сотен на 1.
Какое число задумал Раил?
Задание 3. Золотая лихорадка.
У капитана Джека Воробья есть четыре золотых слитков. Одним выстрелом он может разбить кусок золота на девять новых
Сколько пуль нужно подготовить капитану, если всего он хочет получить 1724 куска золота?
Задание 4. Три поросёнка.
Друзья начали строить домики в один день. Ниф-Ниф – из соломы, Нуф-Нуф – из прутьев, а Наф-Наф – из кирпича. Дом из соломы был построен за 1 день, после чего Ниф-Ниф пошел помогать Нуф-Нуфу. Дом из прутьев был возведен за 2 дня с момента начала строительства, после чего они вместе пошли помогать Наф-Нафу. В итоге дом из кирпича был построен за 17 дней. Если бы Нуф-Нуф в одиночку строил свой дом из прутьев, то он построил бы его за 3 дня. Если бы Ниф-Ниф в одиночку строил себе дом из кирпича, то он закончил бы строительство за 60 дней.
За сколько дней Наф-Наф построил бы свой дом из кирпича в одиночку?
Задание 5. Три квадрата. На рисунке изображены три квадрата со сторонами 8, 12 и 6 соответственно. Найдите площадь закрашенной фигуры KLMNO.
Задание 6. Счастливый билет.
Билет называется счастливым, если его номер — шестизначное число, сумма первых трех цифр которого совпадает с суммой последних трех.
Найдите наибольший номер счастливого билета, который делится на 10 и в записи которого все цифры различны.
Задание 7. Экипировка на каждый день.
В преддверии Australian Open организаторы чемпионата решили оформить рекламный плакат с четырьмя брендами – лидерами спортивного инвентаря: Wilson, Babolat, Head и Yonex, поставив их в произвольном порядке. Для презентации каждого бренда можно выбрать один из трех продуктов: теннисную ракетку, кроссовки или спортивный костюм. Однако, одновременно на плакате не могут быть
- кроссовки Yonex и спортивный костюм Wilson или Head
- теннисная ракетка от Yonex и кроссовки от Babolat
Определите, сколько вариантов плаката доступно организаторам.
Задание 8. Градостроение.
В стране есть обычные города и Столица, некоторые из них соединены дорогами. Обычные города объединены в 98 регионов, пронумерованных числами от 1 до 98. Известно, что количество дорог между Столицей и регионом равно номеру региона, количество дорог, выходящих из одного региона, номер которого меньше 98, в другие, равно разности 100 и номера этого региона, а количество дорог, выходящих из 98 региона, равно 1.
Сколько всего дорог в этой стране?
Ответы для 8 класса по математике
Задание 1. Прогулка.
В субботу Синеглазка отправилась в гости к Кнопочке и прошла путь с постоянной скоростью. В воскресенье Синеглазка с такой же постоянной скоростью вначале дошла к Знайке, откуда они вместе пошли в гости к Кнопочке, ускорившись в 2 раза. Известно, что
- дома друзей расположены на одной прямой;
- домик Синеглазки находится между домами Знайки и Кнопочки;
- расстояние от дома Знайки до дома Кнопочки в 4 раза больше расстояния от дома Синеглазки до дома Кнопочки.
Во сколько раз время, затраченное на весь путь Синеглазки в субботу, меньше времени, затраченного на весь путь Синеглазки в воскресенье?
Задание 2. Уголки.
В треугольнике ABC проведена биссектриса BL. На стороне BC отмечена такая точка K, что ∠LKC=∠BLC. Известно, что AL равно LK
Чему равен ∠LKC если градусные меры углов ∠LAB и ∠LKC относятся как 4:3?
Задание 3. Рыцари, Лжецы и Хитрецы.
На острове аборигенов 16 жителей встали в круг (все смотрят в центр). Среди них были рыцари, всегда говорящие правду, лжецы, всегда говорящие ложь, и хитрецы, которые могут говорить как правду, так и ложь. Каждый из стоящих в кругу сделал два утверждения:
- Мой сосед справа – хитрец
- Мой сосед слева – лжец
Известно, что количество хитрецов в кругу составляет не более половины от всех присутствующих, и есть хотя бы один лжец.
Укажите, сколько рыцарей могло стоять в этом кругу.
Задание 4. Числа на доске.
На доску выписано 25 различных натуральных чисел. Известно, что 18 чисел нацело делятся на 2,8 чисел — на 4,16 чисел — на 3 , и 4 числа нацело делятся на 12
Какая минимальная сумма может быть у чисел, делящихся на 6, но не делящихся на 12 ?
Задание 5. Банкет.
В ресторане обсуждали меню для банкета. Каждому гостю предлагали салат, суп и основное блюдо. На кухне готовили
- четыре вида салатов: Цезарь, Нисуаз, Греческий, Оливье;
- три вида супов: Том-Ям, Грибной, Тыквенный;
- и три вида основных блюд: стейк Рибай, утиное филе, свиные ребрышки.
Меню для гостя будет вкусным, если суп подадут сразу перед основным блюдом, а Грибной суп не предложат вместе с Оливье.
Определите, сколько вкусных меню могут составить повара в ресторане.
Задание 6. Калькулятор не поможет.
Вычислите значение выражения:
Задание 7. Праздник для танцоров.
В деревне Чина представители двух стихий Огня и Воды, танцуя, отмечали праздник Аватара. Каждый маг Воды потанцевал с каждым магом Огня. Оказалось, что всего станцевали 144 пары. На следующий день магов Воды пришло на 4 меньше, и всего станцевали 108 пар.
Сколько пар станцуют в третий день, если ещё не придут 3 мага Огня?
Задание 8. Лишняя цифра.
Переписывая контрольную работу, Незнайка ошибся в записи числа, он пропустил первую цифру 3 и добавил лишнюю цифру в конец. Оказалось, что, если умножить на 3, изначальное четырехзначное число, у него получится результат на 2658 больше, чем итоговое число.
Определите, чему равнялось исходное число, если оно делилось на 9.
Ответы для 9 класса по математике
Задание 1. Лишняя цифра.
Переписывая контрольную работу, Незнайка случайно добавил лишнюю цифру, между первой и второй в результат вычисления. Вместо нечетного, делящегося на 9, четырехзначного числа, у него получилось в 9 раз большее пятизначное число.
Какое наименьшее четырехзначное число могло получаться у Незнайки в контрольной работе, если первая цифра числа больше 3?
Задание 2. Углы и окружность. В треугольнике ABC A=44 а B=66 Продолжение биссектрисы угла A пересекает описанную окружность треугольника в точке L а продолжение биссектрисы угла B – в точке D
Найдите градусную меру угла LCD
Задание 3. Калькулятор не поможет. Вычислите значение выражения
Задание 4. Делимая дата.
Назовем дату делимой, если год делится без остатка на день и на номер месяца. Например, 02.03.2022 является делимой датой. Дата записывается в формате ДД.ММ.ГГГГ.
Сколько делимых дат в 2052 году?
Задание 5. Целая сумма.
Известно, что уравнение x2+(p+12)x+3q=0 не имеет решений, а уравнение 3x2+qx-(p+12)=0 имеет два различных корня.
Найдите наименьшее целое значение выражения p+q если p<q
Задание 6. Две биссектрисы.
В параллелограмме ABCD проведены биссектрисы углов A и B пересекающиеся в точке O. Биссектриса BO пересекает сторону AD в точке F а прямую CD — в точке N
Найдите площадь треугольника ACN если AO=6, BO=8 а отношение сторон параллелограмма AB:BC=1:2
Задание 7. Уголки.
На доске размером 10х10 расположены два трехклеточных уголка (см. рисунок). Уголки могут касаться сторонами или углами, но не накладываться друг на друга. Петя, не глядя на доску, называет некоторые клетки Васе, чтобы тот их отметил.
Какое минимальное количество клеток необходимо назвать Пете, чтобы гарантированно отметить хотя бы одну клетку хотя бы одного уголка?
Задание 8. Делим на 7.
Известно, что число 370854-368y делится на 7
Найдите наименьшее натуральное значение y, если известно, что y≥370
Ответы для 10 класса по математике
Задание 1. Встреча спортсменов.
Из города А в город B с постоянной скоростью выбежал марафонец Тимофей. Пробежав 1/3 пути, Тимофей сильно устал, решил прекратить свой марафон и стал медленным шагом (также с постоянной скоростью) возвращаться обратно в пункт А. В тот момент, когда Тимофей начал возвращаться обратно, спортсмен Михаил выбежал из пункта А в пункт B, причем Тимофей вернулся в пункт А одновременно с тем, как Михаил добежал до пункта В.
На каком расстоянии от пункта А встретились спортсмены, если расстояние между пунктами А и В составляет километров? Ответ дайте в километрах.
Задание 2. Игральный икосаэдр.
Икосаэдр — это многогранник с 20 гранями, игральный икосаэдр вы можете увидеть на рисунке ниже. Выпавшим считается число от 1 до 20 написанное на грани, на которую упал икосаэдр. Вася первый раз бросает два икосаэдра и выбирает наибольшее число из двух выпавших. Второй раз он так же бросает два икосаэдра, но выбирает наименьшее число из двух выпавших. Пусть p — вероятность, что Вася получит итоговое значение больше 12 при первом броске, q — вероятность получить итоговое значение больше 12 при втором броске.
Найдите 100(p-q)
Задание 3. Поиск тангенса.
Квадраты ABCD и DEFG расположены так, как показано на рисунке. Прямые GE и AC пересекаются в точке H, а AE и CG — в точке 1. Известно, что площадь квадрата ABCDE в 16 раз больше площади квадрата DEFG. Найдите тангенс CH1
Задание 4. Интересные числа.
Пусть k(n) — произведение цифр натурального числа n. Число n называется интересным, если n>100 и 40 x k(n)=n2-841.
Найдите все интересные числа. Если таких чисел несколько, запишите их в ответ в порядке возрастания, через запятую, без пробелов.
Задание 5. Незнакомые гномы.
В сказочном лесу проживает 2026 гномов. Известно, что среди любых 2022 гномов есть пара незнакомых между собой гномов.
При каком минимальном количестве незнакомых пар гномов такое возможно?
Задание 6. Клетки на доске.
Какое наименьшее количество клеток нужно отметить на доске 9 x 8, чтобы в любом квадрате 3 х 3 было хотя бы 4 отмеченных клетки?
Задание 7. Великолепные пары.
Назовем пару чисел (b,с) великолепной, если наибольший общий делитель корней квадратного уравнения x2-43bx+c=0 равен b, а наименьшее общее кратное корней — c.
Найдите количество великолепных пар.
Задание 8. Вписанный пятиугольник.
Пятиугольник ABCDE, в котором AB=BC, вписан в окружность. Отрезки BD и CE пересекаются в точке G, а лучи DB и EA — в точке F. Известно, что CG=27, DG:GB:BF=9:1:4.
Найдите длину отрезка FA.
Ответы для 11 класса по математике
Задание 1. Большое число.
Петя на доске записал число 9825649698. Он долго считал и понял, что оно делится на Учитель стёр случайную цифру.
Какова вероятность, что число Пети все еще делится на 3?
Задание 2. Семейная встреча.
Мальчик Петя стоит между деревнями A и B, соединенными дорогой, на расстоянии 20 км от деревни А. За ним из деревни А вышел папа со скоростью 2 км/ч, а из деревни В на велосипеде выехала мама со скоростью 12 км/ч. Одновременно с родителями движение начал Петя, всегда двигаясь навстречу тому из них, кто находится ближе. Через 2 часа он впервые дошел до одного из родителей. Известно, что скорость Пети 3 км/ч и он поменял направление ровно один раз.
Найдите расстояние между деревнями.
Задание 3. Камень, ножницы, бумага.
В каждой клетке квадрата 60х60 ставят камень, ножницы или бумагу. Клетка с камнем бьёт клетку с ножницами, клетка с ножницами — клетку с бумагой, клетка с бумагой — клетку с камнем. Для каждой клетки считают, сколько соседних по стороне клеток она бьёт, и записывают это число.
Какое наибольшее значение может принимать сумма всех записанных чисел?
Задание 4. Длинная сумма.
Дано число А=7+72+73+…+72024
На какие из чисел 3, 8, 11, 100 делится А ?
3
8
11
100
Задание 5. Углы пятиугольника.
Дан пятиугольник ABCDE. Пусть BD пересекает AC в точке T . Известно, что BT=TC,BC||AD,угол AEB=угол DBC=25, угол BAC=50 .
Найдите градусную меру угла AED .(В ответе укажите число без указания единиц измерения.)
Задание 6. Общие корни.
Дан многочлен x2-2x+c с корнями x1 ,x2 , в котором c=0 . Оказалось, что многочлены x2-2x+c и x1 x2 + x2x+cимеют общий корень.
Найдите c.
Задание 7. Кубики на полу.
Иван уронил несколько кубиков на пол, и они расположились так, как показано на рисунке. Причем красный кубик встал на пол на ребро. Известно, что сторона правого куба равна 8, а сторона левого — 20. Найдите расстояние от точки P до точки Q .
Задание 8. Турнирная интрига.
В школе прошел турнир по футболу, в котором участвовало 19 команд. Каждая с каждой сыграла ровно по одному разу. За победу в матче присуждалось 3 очка, за ничью — 1 за поражение — 0 При равном количестве очков места выявляются случайно. Команда А заняла 9 место.
Какое наибольшее количество очков могла набрать команда А?
Смотрите также на сайте олимпиады:
