Ответы на все задания для 6, 7, 8, 9, 10 и 11 класса олимпиада по математике 11 ноября 2023 ВСОШ муниципального этап официальной всероссийской олимпиады школьников Московской области
Скачать ответы на все задания (уже решили)
Ответы для 6 класса
6.1. Найдите наибольшее четырехзначное число, все цифры которого различны, и каждая является либо суммой, либо разностью двух других цифр числа. Объясните свой ответ.
6.2. У фокусника есть 10 цилиндров, в одном из которых сидит кролик. За один вопрос можно указать на 1 или 2 цилиндра, и спросить, сидит ли там кролик (нам ответят «да» или «нет»). Можно ли за 5 вопросов гарантированно найти цилиндр с кроликом?
6.3. Электронные часы показывают время от 00:00 до 23:59. Поезд отправился утром до 12:00, когда часы показывали время ab: cd, a прибыл тогда, когда часы показывали время с: ab. Сколько времени поезд находился в пути, если известно, что он ехал больше 6, но меньше 7 часов?
6.4. Клетчатый квадрат 27 см × 27 см (длина стороны клетки 1 см), разрезали на 5 клетчатых прямоугольников одинакового периметра.
Могло ли оказаться, что суммарная длина разрезов внутри квадрата равна 82 см?
6.5. На праздник в классе открыли 5 коробок с конфетами и расположили эти коробки в ряд. Назовём конфеты соседними, если они лежат в одной коробке или в двух соседних коробках. В конце праздника оказалось, что в каждой коробке осталась хотя бы одна конфета, и у любой оставшейся конфеты есть либо 4, либо 8 соседних конфет. Сколько конфет осталось в конце праздника?
Ответы для 7 класса
7.1. В кружке занимаются 19 школьников. На праздник 8 Марта каждый из мальчиков послал по одной открытке некоторым девочкам из кружка (хотя бы одной). Оказалось, что любые два мальчика послали разное число открыток. Какое наибольшее число мальчиков могло быть в кружке?
7.2. Электронные часы показывают время от 00:00 до 23:59. Поезд отправился утром до 12:00, когда часы показывали время ab: cd, a прибыл тогда, когда часы показывали время с: ab. Сколько времени поезд находился в пути, если известно, что он ехал больше 8, но меньше 9 часов?
7.3. У фокусника есть 10 цилиндров, ровно в двух из которых сидит по одному кролику. За один вопрос можно указать на 1 или 2 цилиндра, и спросить, сидит ли там хотя бы один кролик (нам ответят «да» или «нет»). Можно ли за 5 вопросов гарантированно найти цилиндр с кроликом?
7.4. Клетчатый квадрат 31 см × 31 см (длина стороны клетки 0,5 см), разрезали на 6 клетчатых прямоугольников одинакового периметра.
Могло ли оказаться, что суммарная длина разрезов внутри квадрата равна 80,5 см?
7.5. В каждой клетке таблицы 3 × 3 стоит по одному натуральному числу, причём все девять чисел различны. Известно, что можно вычеркнуть по одному такому числу в каждой строчке так, что в каждой строчке суммы двух оставшихся чисел будут равны одному и тому же числу х. Также можно вычеркнуть по одному такому числу в каждом столбце, что в каждом столбце суммы двух оставшихся чисел будут равны одному и тому же числу у. Может ли оказаться, что х = у?
Ответы для 8 класса
8.1. В кружке занимаются 19 школьников. На праздник 8 Мар каждый из мальчиков послал открытки девочкам из кружка (каждый — хотя бы одну). Оказалось, что каждая девочка получил: открытку, а любые два мальчика послали разнс Какое наибольшее число мальчиков могло быть в кру
8.2. В кошельке лежит 100 рублей монетами по 1 2и5 по Открытой Каждый из 21 человека подходил к кошельку и клал или брал ровно одну монету этих достоинств. В итоге в кошельке оказалось ровно 120 рублей монетами по 1, 2 и 5 рублей, Верно ли; что кто-то либо взял, либо положил монету достоинством 2 рубля?
8.3. Точка / — точка пересечения биссектрис треугольника АВС. На продолжении А/ за точку / ина продолжении АВ за точку В выбраны соответственно точки М и М так, что всмм. пелограмм. ‘Аналогично на продолжении С/ За точку / и на продолжении СВ за точку В выбраны соответственно точки К и [ так, что ВАКЕ — параллелограмм. Докажите, что прямые В! и [М перпендикулярны.
8.4. Какие значения может принимать произведение аб, если известно, что выполняются равенства а? — 2 = а3 + 63 иаз ^_вз — а +54?
8.5. На столе лежат 100 карточек с числами от 1 до 100. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один Ход можно взять со стола любую карточку. Игра заканчивается, когда на столе останется две карточки. Второй выигрывает, если числа на оставшихся карточках отличаются ровно на 10, Иначе выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
Ответы для 9 класса
1. В кружке занимаются 19 школьников. На праздник $ Марта али открытки девочкам из кружка. у открытку, а некоторые мальчики посл к. Какое Оказалось, что каждая девочка получила ровно одн: любые два мальчика послали разное число открыто наибольшее число мальчиков могло быть в кружке?
9.2. В кошельке лежит 100 рублей монетами по 1 рублю. Каждый из иством 50 человек подходил к кошельку и либо брал монету достои 1 рубль, либо клал в кошелек монету достоинством 2 или 5 рублей. Могло ли в кошельке в итоге оказаться ровно 201 рубль? тт с
9.3. Есть набор из 18 чисел: 1,2, 3, …9 И 1 >> з? “29° Их разбили на. и числа в каждой группе перемножили. Какое й могло оказаться 6 групп по 3 числа, наибольшее количество из этих 6 произведени целыми числами?
9.4. На столе лежат 90 карточек с числами от 1 до 90. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход можно взять со стола любую карточку. Игра заканчивается, когда на столе останется две карточки. Второй выигрывает, если числа на оставшихся ает первый. Кто карточках отличаются ровно на 10. Иначе выигрыв: выигрывает при правильной игре?
9.5. Точки [, М и М — соответственно середины сторон АВ, ВСи АС ка АВС (АС = ВС), где 2АСВ > 60°. равнобедренного треугольни Точка С! симметрична точке С относительно прямой АМ, а точка Н опущенного из точки С на прямую ВМ. — основание перпендикуляра, Докажите, что луч МЕ является биссектрисой угла НМ С1.
Ответы для 10 класса
10.1. Прямые у = ахиу = Вх, а > 0, Ь > 0 пересекают прямую у = ‘а соответственно в точках А и В. Найдите отношение а: Ь, если известно, что длина отрезка АВ равна 4.
10.2. В правильном 30-угольнике две соседние вершины покрасили в красный цвет, а остальные — в синий. Сколькими способами можно выбрать прямоугольный треугольник с одной красной и двумя синими вершинами?
10.3. Артём записал на доске несколько натуральных чисел, а Саша для каждой пары чисел вычислил сумму их квадратов. Какое наибольшее количество различных чисел мог получить Саша, если оказалось, что все найденные им суммы — простые числа?
10.4. На столе лежат 118 карточек с числами от 1 до 118. Двое играют в следующую игру. Ходят по очереди. За один ход можно взять со стола любую карточку. Игра заканчивается, когда на столе останется две карточки. Второй выигрывает, если числа на оставшихся карточках отличаются ровно на 10. Иначе выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
10.5. В прямоугольном треугольнике АВС (2АВС = 90°), на сторонах ВС ы со ОЕ. о Око так, что треугольника АВЕ Пежит на РЕНО окружности.
Ответы для 11 класса
11.1. В правильном 30-угольнике одну вершину покрасили в красный цвет, а остальные — в синий. Сколькими способами можно, выбрать прямоугольный треугольник с одной красной и двумя синими вершинами?
11.2. На доске написаны числа 1, 2, 3, 4, …, 99, 100 и 102. За одну операцию можно выбрать несколько чисел, среднее арифметическое которых — целое число, стереть эти числа и вместо них записать на доску их среднее арифметическое. За какое наименьшее число операций можно оставить на доске только одно число?
11.3. Дан непрямоугольный параллелепипед АВСРА, В, С, Р;, точки 0, 0, Оз, Оз, О — соответственно центры граней А В: С, О;, АА, В.В, ВВ:С,С, СС, 0:0, ББ. А1 А. Известно, что углы 0;003 и 0›00, — прямые. Докажите, что четырёхугольник 0,0.0:0. -— прямоугольник. :
11.4. Какие значения может с0$ 22, если известно, что с052у = {82+ 1, с0522.
11.5. На столе лежат в следующую игру. стола любую кар две карточки. Вто карточках отли Иначе выигр; с0$ 2х + с0$2у + с05$2х = {ву +1,