Ответы и решения на все задания для 10 класса олимпиада по математике Сириус 20 октября 2023 ВСОШ школьный этап официальной всероссийской олимпиады школьников 3 группа регионов.
Скачать ответы на все задания (уже решили)
Задание 1. На пробковой доске Саша хочет разместить 66 бумажных кругов так, чтобы они располагались, как на схеме ниже.
Саша хочет прикрепить круги к доске с помощью канцелярских кнопок, причём он хочет, чтобы каждый круг был прикреплён хотя бы тремя кнопками. Какое наименьшее количество кнопок ему для этого понадобится?
Задание 2. На доске написано число 10. За одну операцию разрешается число n заменить либо на число n−8, либо на число n3. Какие из следующих чисел можно получить через несколько операций?
59
−24
−198
1110
168
Задание 3. Восемь школьников, среди которых Аня, Боря, Юля и Ян, играли в пинг‑понг. Каждый школьник сыграл с каждым другим ровно один раз. Аня и Боря выиграли по пять раз каждый. Какое наибольшее количество побед суммарно могли одержать Юля и Ян?
Задание 4. Назовём многоугольник, нарисованный на координатной плоскости, клетчатым, если каждая его сторона которого лежит на прямой вида x=k для некоторого целого k или y=k для некоторого целого k. Примеры клетчатых многоугольников на картинке ниже:
Окружность x2+y2=103 оказалась целиком внутри клетчатого многоугольника P. Какое наименьшее значение может принимать периметр многоугольника P?
Задание 5. В треугольнике ABC известны величины углов: ∠A=70∘, ∠B=54∘, ∠C=56∘. Окружность, проходящая через точки A и B, повторно пересекает отрезки AC и BC в точках P и Q соответственно. Оказалось, что сумма AQ+BP принимает наименьшее возможное значение. Чему равен угол ∠BPQ? Ответ выразите в градусах.
Задание 6. На доске записаны несколько попарно различных натуральных чисел. Рома вычислил произведение двух наименьших чисел и получил 49. Затем он вычислил произведение двух самых больших чисел и получил 2703. Чему может быть равна сумма всех чисел на доске? Укажите все возможные ответы.
Задание 7. Квадратные трёхчлены P(x) и Q(x) таковы, что P(x)⩽Q(x) тогда и только тогда, когда 6⩽x⩽9. Известно, что P(0)−Q(0)=243. Чему равно P(1)−Q(1)?
Задание 8. Яна придумала пятизначное число, и Тимофей хочет его угадать. За один вопрос Тимофей может назвать пятизначное число, и Яна скажет, сколько в нём верных цифр, т.е. цифр, которые тоже присутствуют в числе Яны, причём на том же самом месте, что и в числе Тимофея. Яна сказала, что в предложенном Тимофеем числе 64179 верны две цифры, а в числе 58230 —— три. Тимофей выписал все пятизначные числа, подходящие под ответы Яны. Чему равна сумма чисел, выписанных Тимофеем?
Ответы для школьников 10 классов регионов:
Астраханская область 47. Курганская область 48. Омская область 49. Оренбургская область 50. Пермский край 51. Республика Башкортостан 52. Самарская область 53. Саратовская область 54. Свердловская область 55. Тюменская область 56. Удмуртская Республика 57. Ульяновская область 58. Ханты-Мансийский автономный округ — Югра 59. Челябинская область 60. Ямало-Ненецкий автономный округ.