Ответы и решения на все задания для 11 класса олимпиада по математике Сириус 19 октября 2023 ВСОШ школьный этап официальной всероссийской олимпиады школьников 4 группа регионов.
Скачать ответы на все задания (уже решили)
Задание 1. Шесть действительных чисел образуют арифметическую прогрессию. Известно, что сумма первого, пятого и шестого членов в 4 раза больше, чем среднее арифметическое первого, третьего и пятого членов. Во сколько раз сумма второго и третьего членов прогрессии больше первого члена прогрессии?
Задание 2. Стеклянный полый правильный тетраэдр, стоящий гранью на столе, наполнили водой до 2/3 высоты. После этого всю воду перелили в маленькие полые одинаковые правильные тетраэдры, ребро каждого из которых в 3 раза меньше ребра исходного тетраэдра. Сколько маленьких тетраэдров потребуется?
Задание 3. В одной стране живут мальчиши и плохиши. Известно, что плохиши всегда врут, а мальчиши всегда говорят правду. Однажды собрались в хоровод на площади 10 жителей этой страны, и каждый сделал заявление: «Ровно у одного из двух моих соседей есть сосед‑плохиш!». Сколько в хороводе может быть плохишей? Укажите все возможные варианты.
Задание 4. Рассмотрим стозначное число вида: 333…336 (в числе 99 троек и одна шестёрка в разряде единиц). Сколько чётных цифр в десятичной записи квадрата этого числа?
Задание 5. Через середину M стороны CD прямоугольника ABCD проведена прямая, пересекающая сторону AD в точке K, а луч BC —— в точке L. Известно, что KM=20, а MD=12.
Также проведена окружность w1 радиусом 30 с центром в точке K и окружность w2 радиусом 50 с центром в точке L. Оказалось, что одна из точек пересечения w1 и w2 лежит на луче AB.Найдите расстояние от точки B до общей точки окружностей w1, w2 и луча AB.
Задание 6.Между сёлами Гаврилово и Пугальцево есть дорога, длина которой выражается целым числом километров. По дороге через каждый километр стоит километровый столб, с одной стороны которого указано расстояние в километрах до Гаврилово, а с другой стороны —— расстояние до Пугальцево. В самих деревнях километровые столбы не стоят, то есть нет столба с числом 0. Известно, что для записи чисел на каждом километровом столбце всего было использовано ровно 4 цифры, возможно, не все разные.Чему может быть равно расстояние от Гаврилово до Пугальцево? Ответ выразите в километрах.
Задание 7. В стране 19 городов, некоторые пары из которых соединены прямыми дорогами. Между любыми двумя городами проходит не более одной дороги. Известно, что для любых двух городов A и B, соединённых дорогой, найдётся такой город C, что ни A, ни B не соединены прямой дорогой с C. Какое наибольшее количество дорог может быть в этой стране?
Задание 8. В ряд стоит 12 детей. При каких k от 2 до 12 заявление: «Если среди любых k подряд стоящих детей девочек больше, чем мальчиков, то и всего в ряду девочек больше, чем мальчиков» будет верным?
Ответы для школьников 11 классов регионов:
Алтайский край 62. Амурская область 63. Забайкальский край 64. Иркутская область 65. Камчатский край 66. Кемеровская область — Кузбасс 67. Красноярский край 68. Магаданская область 69. Новосибирская область 70. Приморский край 71. Республика Алтай 72. Республика Бурятия 73. Республика Саха (Якутия) 74. Республика Тыва 75. Республика Хакасия 76. Сахалинская область 77. Томская область 78. Хабаровский край.
